Usando as coordenadas cilíndricas, calcule a integral tripla sobre a região R.
f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2 e R é a região 0 <= r <= 4, pi / 4 <= theta 3 pi / 4,-1 <= z <= 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=x²+y²+z² sobre a região R descrita em coordenadas cilíndricas por 0≤r≤4, π/4≤θ≤3π/4 e −1≤z≤1. O conteúdo aqui é coordenas cilíndricas e precisamos expressar tanto a função quanto o elemento de volume nessa base.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x²+y²=r² e o elemento de volume dV=r dr dθ dz. Logo a integral fica
integralθ=π/4^3π/4integralr=0^4integralz=-1^1(r²+z²),r,dz,dr,dθ²²

Passo 3

Começamos integrando em z. Como r é constante em relação a z,
integral-1^1(r²+z²)r,dz=rintegral-1^1r²+z²,dz=rl[r²z+z³3r]-1^1=rl(2r²+tfrac23r)=2r³+tfrac23r²²²²²³²³

Passo 4

Agora integramos em r:
integral0^4l(2r³+tfrac23rr)dr=l[tfrac2r^44+tfrac2r^26r]0^4=l[tfracr^42+tfracr^23r]0^4=128+tfrac163=tfrac4003³

Passo 5

Por fim, integramos em θ, que varia de π/4 a 3π/4, num intervalo de comprimento π/2. Multiplicando:
4003timesπ2=200π3

Resposta

tfrac200π3

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