Usando as coordenadas cilíndricas, calcule a integral tripla sobre a região
.
e
é a região
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla de f(x,y,z)=x²+y²+z² sobre a região R descrita em coordenadas cilíndricas por 0≤r≤4, π/4≤θ≤3π/4 e −1≤z≤1. O conteúdo aqui é coordenas cilíndricas e precisamos expressar tanto a função quanto o elemento de volume nessa base.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos x²+y²=r² e o elemento de volume dV=r dr dθ dz. Logo a integral fica
Passo 3
Começamos integrando em z. Como r é constante em relação a z,
Passo 4
Agora integramos em r:
Passo 5
Por fim, integramos em θ, que varia de π/4 a 3π/4, num intervalo de comprimento π/2. Multiplicando: