Considere a seguinte equação diferencial:
e^x^3+sen y+x3 cos (y) y^prime=0
© Encontre a solução particular que passa pelo ponto (1, pi).

Passo 1

A equação diferencial dada é e^x^3 + sin y + x3 cos y ,y' = 0. O conteúdo envolve equações diferenciais de primeira ordem e vamos precisar reconhecer uma equação exata (ou tornar exata usando fator integrante). Nosso objetivo é achar a solução que satisfaz (x,y)=(1,pi).

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0, onde
M(x,y) = e^x^3 + sin y, N(x,y) = x3 cos y

Passo 3

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
partial Mpartial y = cos y, partial Npartial x = 13 cos y

Passo 4

Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata. Buscamos um fator integrante mu(x) tal que
partial M/partial y - partial N/partial xN = cos y - tfrac13cos ytfracx3cos y = 2/3x/3 = 2x

Passo 5

Portanto, mu(x) satisfaz
mu'(x)mu(x) = 2x implies mu(x) = e^integral 2/x,dx = x^2

Passo 6

Multiplicamos a equação original por x^2 e definimos
widetilde M = x^2 e^x^3 + x^2 sin y, widetilde N = x^33 cos y

Passo 7

Agora a equação widetilde M,dx + widetilde N,dy = 0 é exata, pois
partial widetilde Mpartial y = x^2 cos y = partial widetilde Npartial x

Passo 8

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
Fx = widetilde M, Fy = widetilde N

Passo 9

Integrando Fx em relação a x:
F(x,y) = integral l(x^2 e^x^3 + x^2 sin yr) dx = 13e^x^3 + x^33sin y + h(y)

Passo 10

Derivando em relação a y e igualando a widetilde N:
Fy = x^33 cos y + h'(y) = x^33 cos y implies h'(y)=0 implies h(y)=C

Passo 11

A solução implícita geral é
13e^x^3 + x^33sin y = C1 Longrightarrow e^x^3 + x^3sin y = C

Passo 12

Aplicando a condição (1,pi):
e^1^3 + 1^3 sinpi = e + 0 = e implies C = e

Resposta

A solução particular que passa por (1,pi) é
e^x^3 + x^3 sin y = e

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