Considere a seguinte equação diferencial:
© Encontre a solução particular que passa pelo ponto
.
Passo 1
A equação diferencial dada é
. O conteúdo envolve equações diferenciais de primeira ordem e vamos precisar reconhecer uma equação exata (ou tornar exata usando fator integrante). Nosso objetivo é achar a solução que satisfaz
.
Passo 2
Reescrevemos a equação no formato
, onde
Passo 3
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Como
, a equação não é exata. Buscamos um fator integrante
tal que
Passo 5
Portanto,
satisfaz
Passo 6
Multiplicamos a equação original por
e definimos
Passo 7
Agora a equação
é exata, pois
Passo 8
Procuramos uma função potencial
tal que
Passo 9
Integrando
em relação a
:
Passo 10
Derivando em relação a
e igualando a
:
Passo 11
A solução implícita geral é
Passo 12
Aplicando a condição
:
Resposta
A solução particular que passa por
é