Considere a seguinte equação diferencial:
Encontre a solução geral da equação diferencial;
Passo 1
O enunciado dá a EDO de primeira ordem
O conteúdo aqui é reconhecer uma equação na forma diferencial exata (ou tornar exata com fator integrante). Vamos precisar de: escrever na forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, testar exatidão, achar fator integrante μ(x), e então construir a função potencial ψ(x,y).
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação como
Calculamos as derivadas parciais:
Como não são iguais, a equação não é exata.
Passo 3
Para achar um fator integrante que dependa só de x, usamos a fórmula
Aqui
Logo
Passo 4
Multiplicando toda a equação por
x , temos a nova forma:
com
Agora verificamos exatidão:
são iguais, então é exata.
Passo 5
Como é exata, existe uma função potencial
psi(x,y) tal que
$$\frac{\partial \psi}{\partial x}=M*=2xy{2}+2y.
\psi(x,y)=\int(2xy{2}+2y),dx=x{2}y^{2}+2xy+h(y).
\frac{\partial \psi}{\partial y}=2x{2}y+2x+h’(y)=N*=2x^{2}y+2x+y.
$$
Isso dá psi(x,y)=integral(2xy^2+2y),dx=x^2y^2+2xy+h(y) e, portanto,
h(y) .
Isso dá
Passo 6
A solução geral fica dada implicitamente por
onde
C é a constante de integração.
Passo 7
Podemos, se quisermos, multiplicar tudo por 2 e escrever
sendo
widetilde C=2C .
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
com
C constante de integração.