Considere a seguinte equação diferencial:
2 y^2+2 yx+(2 x y+2+yx) y^prime=0
Encontre a solução geral da equação diferencial;

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
2y^2+2yx+l(2xy+2+yxr)y'=0
O conteúdo aqui é reconhecer uma equação na forma diferencial exata (ou tornar exata com fator integrante). Vamos precisar de: escrever na forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, testar exatidão, achar fator integrante μ(x), e então construir a função potencial ψ(x,y).

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação como
underbrace2y^2+2yxM(x,y),dx+underbrace2xy+2+yxN(x,y),dy=0
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y=4y+2x, partial Npartial x=2y-yx^2
Como não são iguais, a equação não é exata.

Passo 3

Para achar um fator integrante que dependa só de x, usamos a fórmula
mu(x)=expl(integralpartial M/partial y-partial N/partial xN,dxr)
Aqui
partial M/partial y-partial N/partial xN =l(4y+2/xr)-l(2y- y/x^2r)2xy+2+y/x =2y+2/x+y/x^22xy+2+y/x=1x
Logo
mu(x)=e^integral1/x,dx=x

Passo 4

Multiplicando toda a equação por x, temos a nova forma:
(2x y^2+2y),dx+(2x^2y+2x+y),dy=0,
com
M^*=2xy^2+2y, N^*=2x^2y+2x+y
Agora verificamos exatidão:
partial M^*partial y=4xy+2, partial N^*partial x=4xy+2,
são iguais, então é exata.

Passo 5

Como é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
$$\frac{\partial \psi}{\partial x}=M*=2xy{2}+2y.
partial psipartial x=M^*=2xy^2+2y çã
\psi(x,y)=\int(2xy{2}+2y),dx=x{2}y^{2}+2xy+h(y).
x
\frac{\partial \psi}{\partial y}=2x{2}y+2x+h’(y)=N*=2x^{2}y+2x+y.
$$
Isso dá psi(x,y)=integral(2xy^2+2y),dx=x^2y^2+2xy+h(y) e, portanto, h(y).

Passo 6

A solução geral fica dada implicitamente por
psi(x,y)=x^2y^2+2xy+y^22=C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Podemos, se quisermos, multiplicar tudo por 2 e escrever
2x^2y^2+4xy+y^2=widetilde C,
sendo widetilde C=2C.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
x^2y^2+2xy+y^22=C,
com C constante de integração.

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