Derive as funções a seguir:
(j) f(x)=ln (x)1+ln (x) Resp: f^prime(x)=1x(1+ln (x))^2

Passo 1

Estamos com a função f(x)=ln(x)1+ln(x), o conteúdo aqui é derivada de quociente e derivada de ln(x). Vamos usar a regra do quociente e lembrar que (ln(x))'=1/x.

Passo 2

Sejam u(x)=ln(x) e v(x)=1+ln(x). Pela regra do quociente temos:
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculando as derivadas de u e v: u'(x)=1/x e v'(x)=1/x. Substituindo na fórmula:
f'(x)=1x(1+ln(x)) - ln(x)1x(1+ln(x))^2

Passo 4

No numerador podemos fatorar 1/x:
f'(x)=1+ln(x)-ln(x)x(1+ln(x))^2 = 1/(x)(1+ln(x))^2 Simplificando ficamos com a forma final. Foi aplicada a regra do quociente e simplificada a expressão reconhecendo que 1+ln(x)-ln(x)=1.

Resposta

f'(x)=1xl(1+ln(x)r)^2

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