Considere a seguinte equação diferencial:
2 y^2+2 yx+(2 x y+2+yx) y^prime=0
Encontre a solução da equação diferencial que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

Estamos lidando com a equação diferencial de primeira ordem escrita no formato M(x,y) + N(x,y),y'=0, onde queremos a solução que satisfaz y(1)=1. Para resolver, vamos precisar reconhecer que a equação pode ser tornada exata por um fator integrante e então usar o método de equações exatas.

Passo 2

Escrevemos a equação original como
2y^2 + 2yx + l(2xy + 2 + yxr)y' = 0
Identificamos
M(x,y)=2y^2 + 2yx,
N(x,y)=2xy + 2 + yx

Passo 3

Procuramos um fator integrante do tipo mu(x). Testando mu(x)=x, multiplicamos a equação original por x, obtendo
(2x y^2 + 2y) + (2x^2 y + 2x + y),y' = 0
Agora
tilde M(x,y)=2x y^2 + 2y,
tilde N(x,y)=2x^2 y + 2x + y
e verificamos que
partial tilde Mpartial y=4xy+2,
partial tilde Npartial x=4xy+2,
i.e., a equação ficou exata.

Passo 4

Como é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que
partial psipartial x=tilde M=2x y^2+2y,
partial psipartial y=tilde N=2x^2 y+2x+y
Integramos tilde M em relação a x:
psi(x,y)=integral (2xy^2+2y),dx = x^2 y^2 + 2xy + h(y)
Derivando em relação a y e igualando a tilde N:
partial psipartial y=2x^2 y + 2x + h'(y)=2x^2 y + 2x + y,
logo h'(y)=y e h(y)=y^2/2. Assim,
psi(x,y)=x^2y^2 + 2xy + y^22

Passo 5

A solução geral implícita é
psi(x,y)=C $$
\Longrightarrow x2y2 + 2xy + \frac{y^2}{2} = C.
Longrightarrow x^2y^2 + 2xy + y^22 = C çã
12\cdot12 + 2\cdot1\cdot1 + \frac{1^2}{2}=1+2+\tfrac12=\tfrac72,
$$
portanto y(1)=1.

Passo 6

Para obter y explicitamente, multiplicamos por 2 e resolvemos a quadrática:
2x^2y^2+4xy+y^2=7
(2x^2+1)y^2 + 4x y -7=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara e escolhendo o ramo que passa em (1,1), obtemos
boxedy(x)=-2x + raiz18x^2+72x^2+1

Resposta

y(x)=\frac{-2x+\sqrt{18x2+7}}{2x2+1}

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