Considere a seguinte equação diferencial:
Encontre a solução da equação diferencial que satisfaz
.
Passo 1
Estamos lidando com a equação diferencial de primeira ordem escrita no formato
, onde queremos a solução que satisfaz
. Para resolver, vamos precisar reconhecer que a equação pode ser tornada exata por um fator integrante e então usar o método de equações exatas.
Passo 2
Escrevemos a equação original como
Identificamos
Passo 3
Procuramos um fator integrante do tipo
. Testando
, multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora
e verificamos que
i.e., a equação ficou exata.
Passo 4
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando em relação a
e igualando a
:
logo
e
. Assim,
Passo 5
A solução geral implícita é
\Longrightarrow x2y2 + 2xy + \frac{y^2}{2} = C.
12\cdot12 + 2\cdot1\cdot1 + \frac{1^2}{2}=1+2+\tfrac12=\tfrac72,
$$
portanto .
portanto
Passo 6
Para obter
explicitamente, multiplicamos por 2 e resolvemos a quadrática:
Aplicando a fórmula de Bhaskara e escolhendo o ramo que passa em
, obtemos
Resposta
y(x)=\frac{-2x+\sqrt{18x2+7}}{2x2+1}