Faça o esboço do gráfico de cada função:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos esboçar o gráfico da função racional
. O conteúdo aqui é análise de funções racionais: vamos precisar achar domínio, assíntotas (verticais e horizontais), interceptos, simetria, sinal e monotonicidade para desenhar o esboço.
Passo 2
Domínio e assíntotas: o denominador
anula-se em
, então o domínio é
e há assíntotas verticais em
Como o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (0), existe assíntota horizontal em
Passo 3
Interceptos e simetria: calculando
, não há raiz em
. A função satisfaz
, logo é par e simétrica em relação ao eixo
.
Passo 4
Sinal da função: observe que
quando
, daí
em
, e
quando
, daí
em
.
Passo 5
Monotonicidade: vamos derivar
$$f(x)=4(1-x2){-1}\implies f’(x)=4\cdot(-1)(1-x2){-2}\cdot(-2x)=\frac{8x}{(1-x2)2}.
$$
Como fora de
, o sinal de
é o de
: para
,
(decrescente); para
,
(crescente). Isso confirma que em
o mínimo local ocorre em
com
.
Como
Passo 6
Esboço qualitativo:
• Em , a curva é positiva, cai de
em
até
em
, e sobe de
até
em
.
• Para ,
sai de
em
e cresce (tendendo a 0 por baixo) conforme
.
• Para , por simetria, sai de
em
e cresce até 0 (por baixo) em
.
Com esses ramos, as assíntotas verticais em e horizontal em
, temos um esboço completo do gráfico.
• Em
• Para
• Para
Com esses ramos, as assíntotas verticais em
Resposta
O gráfico tem domínio
, assíntotas verticais em
e horizontal em
. Há um ramo positivo em
com mínimo em (0,4) indo a +∞ em
, e dois ramos negativos em
e
que partem de -∞ perto de
e se aproximam de 0 por baixo conforme
.