Faça o esboço do gráfico de cada função:
f(x)=41-x^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos esboçar o gráfico da função racional f(x)=41-x^2. O conteúdo aqui é análise de funções racionais: vamos precisar achar domínio, assíntotas (verticais e horizontais), interceptos, simetria, sinal e monotonicidade para desenhar o esboço.

Passo 2

Domínio e assíntotas: o denominador 1-x^2 anula-se em x=pm1, então o domínio é
(-infty,-1)cup(-1,1)cup(1,infty)
e há assíntotas verticais em x=pm1.
Como o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (0), existe assíntota horizontal em y=0 ( f(x)to0 quando xtopminfty).

Passo 3

Interceptos e simetria: calculando f(0)=4/(1-0)=4, não há raiz em f(x)=0. A função satisfaz f(-x)=4/(1-(-x)^2)=4/(1-x^2)=f(x), logo é par e simétrica em relação ao eixo y.

Passo 4

Sinal da função: observe que 1-x^2>0 quando |x|<1, daí f(x)>0 em (-1,1), e 1-x^2<0 quando |x|>1, daí f(x)<0 em .

Passo 5

Monotonicidade: vamos derivar
$$f(x)=4(1-x2){-1}\implies f’(x)=4\cdot(-1)(1-x2){-2}\cdot(-2x)=\frac{8x}{(1-x2)2}.
$$
Como f(x)=4(1-x^2)^-1implies f'(x)=4cdot(-1)(1-x^2)^-2cdot(-2x)=8x(1-x^2)^2 fora de (1-x^2)^2>0, o sinal de x=pm1 é o de f'(x): para x, x<0 (decrescente); para f'<0, x>0 (crescente). Isso confirma que em f'>0 o mínimo local ocorre em (-1,1) com x=0.

Passo 6

Esboço qualitativo:
• Em -1, a curva é positiva, cai de +infty em xto-1^+ até 4 em x=0, e sobe de 4 até +infty em xto1^-.
• Para x>1, f(x) sai de -infty em xto1^+ e cresce (tendendo a 0 por baixo) conforme xto+infty.
• Para x< -1, por simetria, sai de -infty em xto-1^- e cresce até 0 (por baixo) em xto-infty.
Com esses ramos, as assíntotas verticais em x=pm1 e horizontal em y=0, temos um esboço completo do gráfico.

Resposta

O gráfico tem domínio (-infty,-1)cup(-1,1)cup(1,infty), assíntotas verticais em x=pm1 e horizontal em y=0. Há um ramo positivo em -1 com mínimo em (0,4) indo a +∞ em xtopm1, e dois ramos negativos em x>1 e x<-1 que partem de -∞ perto de x=pm1 e se aproximam de 0 por baixo conforme |x|toinfty.

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