integral3^4 d xx^2-3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral3^4 dxx^2-3x+2. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente integrais racionais que envolvem polinômios no denominador. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar a técnica de frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 3x + 2. Queremos encontrar dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então, x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, nossa integral fica:
integral3^4 dx(x - 1)(x - 2)
Para resolver essa fração, vamos decompor em frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes A e B tais que:
1(x - 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx - 2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x - 1)(x - 2) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(x - 2) + B(x - 1)
Agora, precisamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de x que simplificam a equação.

Passo 5

Primeiro, escolha x = 2:
1 = A(2 - 2) + B(2 - 1) 1 = 0 + B(1) B = 1
Agora, escolha x = 1:
1 = A(1 - 2) + B(1 - 1) 1 = A(-1) + 0 A = -1

Passo 6

Agora que encontramos A = -1 e B = 1, podemos escrever a fração parcial:
1(x - 1)(x - 2) = -1x - 1 + 1x - 2
Então, nossa integral fica:
integral3^4 ( -1x - 1 + 1x - 2 ) dx

Passo 7

Vamos separar a integral:
- integral3^4 1x - 1 dx + integral3^4 1x - 2 dx
A integral de 1x - a dx é ln|x - a|, então vamos aplicar isso.

Passo 8

Calculando cada parte:
- [ ln|x - 1| ]3^4 + [ ln|x - 2| ]3^4
Agora, substituímos os limites de integração.

Passo 9

Primeiro, para o termo - ln|x - 1|:
- ( ln(4 - 1) - ln(3 - 1) ) = - (ln 3 - ln 2) = ln 2 - ln 3
Segundo, para o termo ln|x - 2|:
ln(4 - 2) - ln(3 - 2) = ln 2 - ln 1
Como ln 1 = 0, fica apenas ln 2.

Passo 10

Agora, juntando os resultados:
ln 2 - ln 3 + ln 2 = 2 ln 2 - ln 3
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
ln ( 2^23 ) = ln ( 43 )

Resposta

A integral integral3^4 dxx^2-3x+2 é igual a ln(43).

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