Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, mais especificamente integrais racionais que envolvem polinômios no denominador. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar a técnica de frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Queremos encontrar dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então,
.
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, nossa integral fica:
Para resolver essa fração, vamos decompor em frações parciais. Ou seja, vamos encontrar constantes
e
tais que:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, precisamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplificam a equação.
Passo 5
Primeiro, escolha
:
Agora, escolha
:
Passo 6
Agora que encontramos
e
, podemos escrever a fração parcial:
Então, nossa integral fica:
Passo 7
Vamos separar a integral:
A integral de
é
, então vamos aplicar isso.
Passo 8
Calculando cada parte:
Agora, substituímos os limites de integração.
Passo 9
Primeiro, para o termo
:
Segundo, para o termo
:
Como
, fica apenas
.
Passo 10
Agora, juntando os resultados:
Podemos simplificar usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
A integral
é igual a
.