Considere a seguinte equação diferencial, 2 y^{2}+\frac{2 y}{x}+\left(2 x y+2+\frac{y}{x}\right) y^{\prime}=0. Onde x>0.
a) Mostre que a equação não é exata.
b) Encontre um fator integrante para a equação.
c) Encontre a solução geral para equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial
2y^{2}+\frac{2y}{x}+\Bigl(2xy+2+\frac{y}{x}\Bigr)y'=0,\quad x>0,
que podemos escrever como
M(x,y)+N(x,y)\,y'=0
com
M(x,y)=2y^{2}+\frac{2y}{x},\qquad N(x,y)=2xy+2+\frac{y}{x}.
Pede-se:
a) mostrar que não é exata;
b) encontrar um fator integrante;
c) resolver a equação geral.

Passo 2

Para testar exatidão comparamos
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(2y^{2}+\frac{2y}{x}\Bigr) =4y+\frac{2}{x},
e
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(2xy+2+\frac{y}{x}\Bigr) =2y-\frac{y}{x^{2}}.
Como
4y+\frac{2}{x}\neq 2y-\frac{y}{x^{2}},
a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu(x) que dependa só de x. A condição é
\frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} =\frac{\bigl(4y+\tfrac{2}{x}\bigr)-\bigl(2y-\tfrac{y}{x^{2}}\bigr)}{2xy+2+\tfrac{y}{x}} =\frac{2y+\tfrac{2}{x}+\tfrac{y}{x^{2}}}{2xy+2+\tfrac{y}{x}} =\frac{1}{x}.
Logo
\mu(x)=\exp\Bigl(\int\frac{1}{x}\,dx\Bigr)=x.

Passo 4

Multiplicando toda a equação original por x obtemos
2xy^{2}+2y+\bigl(2x^{2}y+2x+y\bigr)y'=0,
ou seja \widetilde M=2xy^{2}+2y e \widetilde N=2x^{2}y+2x+y. Agora é exata pois
\frac{\partial\widetilde M}{\partial y} =4xy+2, \quad \frac{\partial\widetilde N}{\partial x} =4xy+2.
Buscamos \Phi(x,y) tal que
\Phi_{x}=\widetilde M=2xy^{2}+2y.
Integramos em x:
\Phi(x,y) =\int(2xy^{2}+2y)\,dx =x^{2}y^{2}+2xy+h(y).
Derivando em y e igualando a \widetilde N:
\Phi_{y}=2x^{2}y+2x+h'(y)=2x^{2}y+2x+y \;\Longrightarrow\; h'(y)=y\;\Longrightarrow\;h(y)=\frac{y^{2}}{2}.
Logo
\Phi(x,y) =x^{2}y^{2}+2xy+\frac{y^{2}}{2} =C,
que é a solução implícita geral.

Resposta

A equação não é exata; um fator integrante é \mu(x)=x; a solução geral é
x^{2}y^{2}+2xy+\frac{y^{2}}{2}=C.

Exercícios relacionados