Considere a seguinte equação diferencial,
. Onde
.
a) Mostre que a equação não é exata.
b) Encontre um fator integrante para a equação.
c) Encontre a solução geral para equação.
a) Mostre que a equação não é exata.
b) Encontre um fator integrante para a equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem em forma diferencial
que podemos escrever como
com
Pede-se:
a) mostrar que não é exata;
b) encontrar um fator integrante;
c) resolver a equação geral.
a) mostrar que não é exata;
b) encontrar um fator integrante;
c) resolver a equação geral.
Passo 2
Para testar exatidão comparamos
e
Como
a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. A condição é
Logo
Passo 4
Multiplicando toda a equação original por
obtemos
ou seja
e
. Agora é exata pois
Buscamos
tal que
Integramos em
:
Derivando em
e igualando a
:
Logo
que é a solução implícita geral.
Resposta
A equação não é exata; um fator integrante é
; a solução geral é