Resolva o problema de valor inicial,
y^{\prime}+\frac{2}{x} y=\frac{\cos (x)}{x^{2}}, \quad \text { onde } y(\pi)=0, \quad \forall x>0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + \frac{2}{x}\,y = \frac{\cos(x)}{x^{2}}
com condição inicial y(\pi)=0. O conteúdo é resolução de ODE linear usando fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(2\ln x) = x^{2}.
Multiplicando a equação original por \mu(x), obtemos
x^{2}y' + 2x\,y = \cos(x).

Passo 3

Observe que o lado esquerdo é a derivada de x^{2}y:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}y\bigr) = \cos(x).
Integrando ambos os lados em relação a x,
x^{2}y = \int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C,
logo a solução geral é
y(x) = \frac{\sin(x) + C}{x^{2}}.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(\pi)=0:
0 = y(\pi) = \frac{\sin(\pi) + C}{\pi^{2}} = \frac{0 + C}{\pi^{2}} \quad\Longrightarrow\quad C = 0.
Portanto a solução particular é
y(x) = \frac{\sin(x)}{x^{2}}.

Resposta

y(x) = \frac{\sin(x)}{x^{2}}.

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