Questão 2 - Uma empresa de reflorestamento está planejando a ocupação de 100 hectares com três espécies: Eucalipto (x), Paricá (y) e Teca (z). Para isso, devem ser respeitadas as seguintes condições:
  1. A soma das áreas destinadas às três espécies deve totalizar 100 hectares.
  2. Cada hectare de eucalipto produz 30 \mathrm{~m}^{3} de madeira, cada hectare de paricá produz 20 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{e} cada hectare de teca produz 40 \mathrm{~m}^{3}. A meta de produção é de 2.600 \mathrm{~m}^{3}.
  3. Para o preparo do solo, o eucalipto demanda 5 horas por hectare, o paricá 2 horas e a teca 3 horas. O total de horas de preparo disponível é 340.
Com base nessas informações:
a) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Monte o sistema de equações lineares que representa o problema.
b) ( 1,0 \mathrm{pt} ) Identifique os coeficientes das incógnitas e os termos independentes.
c) (1,0 pt) Escreva o matriz estendida relacionada ao sistema

Passo 1

O problema pede montar um sistema linear de três incógnitas (x,y,z) representando as áreas (hectares) de eucalipto, paricá e teca, sujeitas a três condições: total de área, meta de produção e horas de preparo. Vamos usar diretamente a tradução de cada condição em equação linear.

Passo 2

Da condição de soma das áreas:
x + y + z = 100.
Da produção de madeira 30\,\mathrm{m}^3 por ha de eucalipto, 20\,\mathrm{m}^3 por ha de paricá, 40\,\mathrm{m}^3 por ha de teca, meta de 2600\,\mathrm{m}^3:
30x + 20y + 40z = 2600.
Das horas de preparo (5 h/ha de eucalipto, 2 h/ha de paricá, 3 h/ha de teca, total 340 h):
5x + 2y + 3z = 340.

Passo 3

Os coeficientes das incógnitas e os termos independentes vêm diretamente das equações:
Coeficientes (matriz A):
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 30 & 20 & 40\\\\ 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Termos independentes (vetor b):
b = \begin{pmatrix} 100\\\\ 2600\\\\ 340 \end{pmatrix}.

Passo 4

A matriz estendida (A\,|\,b) combina A e b em uma só:
(A\,|\,b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 100\\\\ 30 & 20 & 40 & 2600\\\\ 5 & 2 & 3 & 340 \end{pmatrix}.

Resposta

a)
\begin{cases} x + y + z = 100,\\\\ 30x + 20y + 40z = 2600,\\\\ 5x + 2y + 3z = 340. \end{cases}
b)
Coeficientes:
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 30 & 20 & 40\\\\ 5 & 2 & 3 \end{pmatrix},
Termos independentes:
b = \begin{pmatrix} 100\\\\ 2600\\\\ 340 \end{pmatrix}.
c)
(A\,|\,b) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 100\\\\ 30 & 20 & 40 & 2600\\\\ 5 & 2 & 3 & 340 \end{pmatrix}.

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