Considere a seguinte equação diferencial
y^prime prime-(2 alpha-1) y^prime+alpha(alpha-1) y=0
Determine as afirmativas verdadeiras com relação as soluções dessa equação.
Escolha uma ou mais:
y infty para alpha<0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem:
y^prime prime - (2 alpha - 1) y^prime + alpha(alpha - 1) y = 0
Nosso objetivo é analisar as soluções dessa equação e verificar se a afirmação " y infty para alpha < 0" é verdadeira. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e analisar o comportamento das soluções com base no valor de alpha.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. Para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral pode ser encontrada através da equação característica. Vamos montar essa equação característica substituindo y = e^rt na equação diferencial.
r^2 - (2 alpha - 1) r + alpha(alpha - 1) = 0

Passo 3

Agora, precisamos resolver a equação quadrática característica:
r^2 - (2 alpha - 1) r + alpha(alpha - 1) = 0
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
r = (2 alpha - 1) pm raiz(2 alpha - 1)^2 - 4 cdot 1 cdot alpha(alpha - 1)2

Passo 4

Vamos simplificar o discriminante:
De
Expandindo:
De
Então, o discriminante é sempre igual a 1, que é positivo. Isso significa que teremos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Com De, as soluções da equação característica são:
r = 2 alpha - 1 pm 12
Calculando as duas raízes:
r1 = 2 alpha - 1 + 12 = 2 alpha2 = alpha
r2 = 2 alpha - 1 - 12 = 2 alpha - 22 = alpha - 1

Passo 6

Assim, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^alpha t + C2 e^(alpha - 1) t
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, vamos analisar o comportamento de y(t) quando alpha < 0. Queremos verificar se y(t) tende ao infinito nesse caso.
Para alpha < 0:
  • O termo e^alpha t tende a zero conforme t infty, já que o expoente é negativo.
  • O termo e^(alpha - 1) t também tende a zero, pois alpha - 1 < alpha < 0, tornando o expoente ainda mais negativo.
Portanto, ambos os termos tendem a zero.

Passo 8

Como ambos os componentes da solução y(t) tendem a zero quando alpha < 0 e t infty, concluímos que y(t) 0 e não para o infinito.

Resposta

A afirmação " y infty para alpha < 0" é falsa.

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