Considere a seguinte equação diferencial
Determine as afirmativas verdadeiras com relação as soluções dessa equação.
Escolha uma ou mais:
para
Escolha uma ou mais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma equação diferencial de segunda ordem:
Nosso objetivo é analisar as soluções dessa equação e verificar se a afirmação "
para
" é verdadeira. Para isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e analisar o comportamento das soluções com base no valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada. Para equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, a solução geral pode ser encontrada através da equação característica. Vamos montar essa equação característica substituindo
na equação diferencial.
Passo 3
Agora, precisamos resolver a equação quadrática característica:
Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
Passo 4
Vamos simplificar o discriminante:
Expandindo:
Então, o discriminante é sempre igual a 1, que é positivo. Isso significa que teremos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Com
, as soluções da equação característica são:
Calculando as duas raízes:
Passo 6
Assim, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
. Queremos verificar se
tende ao infinito nesse caso.
Para
:
- O termo
tende a zero conforme , já que o expoente é negativo. - O termo
também tende a zero, pois , tornando o expoente ainda mais negativo.
Portanto, ambos os termos tendem a zero.
Passo 8
Como ambos os componentes da solução
tendem a zero quando
e
, concluímos que
e não para o infinito.
Resposta
A afirmação "
para
" é falsa.