Dados a1, c in R e b1>0, considere as sequências (an)n >= 1 e (bn)n >= 1 dadas pelas relações:
an+1-an=c
Determine (dependendo de a1, b1 e c ), se as sequências (an) e (bn) são monótonas (crescente ou decrescente) e calcule, caso existam, seus limites quando n infty.

Passo 1

Temos duas sequências: uma aritmética definida por an+1-an=c e outra geométrica dada por bn+1=c,bn com b1>0. Vamos achar as fórmulas explícitas, estudar monotonicidade e limites de cada uma.

Passo 2

Aplicando a definição de progressão aritmética, como a diferença entre termos consecutivos é constante igual a c, obtemos a forma fechada
an = a1 + (n-1)c

Passo 3

Para a monotonicidade de (an) basta olhar o sinal de an+1-an=c: se c>0 a sequência é estritamente crescente; se c<0 é estritamente decrescente; e se c=0 é constante.

Passo 4

Quanto ao limite de (an) quando ntoinfty:
  • Se c>0, então anto +infty.
  • Se c<0, então anto -infty.
  • Se c=0, então an=a1 para todo n, logo limntoinftyan=a1.

Passo 5

Para a sequência geométrica, a recorrência bn+1=c,bn leva à forma fechada
bn = b1,c^,n-1

Passo 6

Estudando a monotonicidade de (bn):
  • Se c>1, então c^n-1 cresce e (bn) é estritamente crescente.
  • Se c=1, então bn=b1 é constante.
  • Se 0, então c^n-1 decresce e (bn) é estritamente decrescente.
  • Se c<0, os sinais de bn alternam e a sequência NÃO é monótona.

Passo 7

Agora os limites de (bn) quando ntoinfty:
  • Se |c|<1, então c^n-1to0 e bnto0.
  • Se c=1, então bn=b1 e lim bn = b1.
  • Se c=-1, então bn alterna entre b1 e -b1, logo não há limite.
  • Se |c|>1: se c>1, então bnto+infty; se c<-1, |bn|to+infty mas oscila em sinal, então não há limite.

Passo 8

Resumindo, a sequência aritmética (an) tem an=a1+(n-1)c, é crescente se c>0, decrescente se c<0, constante se c=0, e diverge para +infty, -infty ou fica em a1 conforme esses casos. A geométrica (bn) é bn=b1c^n-1, é crescente se c>1, decrescente se 0, constante se c=1, não é monótona se c<0, e seu limite é 0 para |c|<1, b1 se c=1, diverge se c>1, e não existe se c<=-1.

Resposta

Sequência aritmética ( an):
  • Forma: an=a1+(n-1)c.
  • Monotonicidade: crescente se c>0, decrescente se c<0, constante se c=0.
  • Limite: lim an=+infty se c>0, -infty se c<0, e a1 se c=0.
Sequência geométrica ( bn):
  • Forma: bn=b1c^n-1.
  • Monotonicidade: se c>1 é crescente; se 0 é decrescente; se c=1 é constante; se c<0 não é monótona.
  • Limite: lim bn=0 para |c|<1; b1 se c=1; diverge para c>1; não existe se c<=-1.

Exercícios relacionados