Dados
e
, considere as sequências
e
dadas pelas relações:
Determine (dependendo de
e
), se as sequências
e
são monótonas (crescente ou decrescente) e calcule, caso existam, seus limites quando
.
Determine (dependendo de
Passo 1
Temos duas sequências: uma aritmética definida por
e outra geométrica dada por
com
. Vamos achar as fórmulas explícitas, estudar monotonicidade e limites de cada uma.
Passo 2
Aplicando a definição de progressão aritmética, como a diferença entre termos consecutivos é constante igual a
, obtemos a forma fechada
Passo 3
Para a monotonicidade de
basta olhar o sinal de
: se
a sequência é estritamente crescente; se
é estritamente decrescente; e se
é constante.
Passo 4
Quanto ao limite de
quando
:
- Se
, então . - Se
, então . - Se
, então para todo , logo .
Passo 5
Para a sequência geométrica, a recorrência
leva à forma fechada
Passo 6
Estudando a monotonicidade de
:
- Se
, então cresce e é estritamente crescente. - Se
, então é constante. - Se
, então decresce e é estritamente decrescente. - Se
, os sinais de alternam e a sequência NÃO é monótona.
Passo 7
Agora os limites de
quando
:
- Se
, então e . - Se
, então e . - Se
, então alterna entre e , logo não há limite. - Se
: se , então ; se , mas oscila em sinal, então não há limite.
Passo 8
Resumindo, a sequência aritmética
tem
, é crescente se
, decrescente se
, constante se
, e diverge para
,
ou fica em
conforme esses casos. A geométrica
é
, é crescente se
, decrescente se
, constante se
, não é monótona se
, e seu limite é 0 para
,
se
, diverge se
, e não existe se
.
Resposta
Sequência aritmética (
):
- Forma:
. - Monotonicidade: crescente se
, decrescente se , constante se . - Limite:
se , se , e se .
Sequência geométrica (
):
- Forma:
. - Monotonicidade: se
é crescente; se é decrescente; se é constante; se não é monótona. - Limite:
para ; se ; diverge para ; não existe se .