Um tanque contém inicialmente 1000 ell de água salgada com 10 kg de sal dissolvido. Entra no tanque água contendo 0,05 kg de sal por litro à razão de 51 / min. A mistura escoa do tanque à razão de 71 / min. Ache a quantidade de sal no tanque depois de 20 min (a partir de t=0).

Passo 1

Estamos lidando com um problema de mistura em que o volume do tanque varia (entra mais líquido que sai) e queremos achar a função quantidade de sal y(t) que satisfaz uma equação diferencial de 1º ordem linear.

Passo 2

Definimos o volume do tanque em função do tempo como V(t)=1000-20t (pois entra 51 L/min e sai 71 L/min, dando exfiltração líquida de 20 L/min). Seja y(t) a quantidade de sal (em kg) no tanque no instante t. A taxa de entrada de sal é 51 L/mintimes0,05 kg/L=2,55 kg/min. A taxa de saída de sal é a concentração no tanque y/V(t) vezes 71 L/min, ou seja, 711000-20t,y. Montamos então a EDO
dydt=2,55-711000-20t,y

Passo 3

Colocando na forma padrão dydt+P(t)y=Q(t), temos P(t)=tfrac711000-20t e Q(t)=2,55. O fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integral711000-20t,dtr)=(1000-20t)^-71/20

Passo 4

Multiplicando a EDO por mu(t) e integrando, obtemos
y,(1000-20t)^-71/20=integral2,55,(1000-20t)^-71/20,dt+C
Fazendo a substituição u=1000-20t, du=-20,dt, achamos
integral2,55,u^-71/20,dt=2,5551,u^-51/20+const=0,05,u^-51/20+const

Passo 5

Voltando a t, a solução geral é
y(t)=0,05,(1000-20t)+C,(1000-20t)^71/20

Passo 6

Aplicando a condição inicial y(0)=10
10=0,05times1000+C,1000^71/20 Rightarrow C=-401000^71/20

Passo 7

Logo
y(t)=0,05,(1000-20t)-40,(1000-20t)^71/201000^71/20

Passo 8

Para t=20 minutos, 1000-20times20=600, então
y(20)=0,05times600-40l(6001000r)^71/20=30-40,(0,6)^3,55approx23,47 kg

Resposta

23,47 kg

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