f(x)=ccc x^2-1 & se & x <= 0 2 x & se & 0= 2
(a) f é contínua em x=0 ? Justifique!
(b) f é contínua em x=1 ? Justifique!
© f é contínua em x=2 ? Justifique!

Passo 1

O enunciado define a função por partes e nos pede para verificar continuidade em x=0, x=1 e x=2. Vamos usar o conceito de continuidade: f é contínua em x=a se e somente se limₓ→a⁻ f(x)=limₓ→a⁺ f(x)=f(a).

Passo 2

Para x=0: calculamos o limite à esquerda usando f(x)=x²−1 e o limite à direita usando f(x)=2x. Temos limₓ→0⁻f(x)=limₓ→0⁻(x²−1)=-1 e limₓ→0⁺f(x)=limₓ→0⁺(2x)=0. Já f(0)=0²−1=-1. Como limₓ→0⁻f(x)≠limₓ→0⁺f(x) (−1≠0), a função não tem limite único em 0 e logo não é contínua em x=0.

Passo 3

Para x=1: o limite pela esquerda usa f(x)=2x e pela direita f(x)=−2x+4. Então limₓ→1⁻f(x)=2·1=2 e limₓ→1⁺f(x)=−2·1+4=2. Os limites laterais coincidem em 2, mas f(1)=1. Como lim f(x)≠f(1), a função não é contínua em x=1.

Passo 4

Para x=2: pela esquerda usamos f(x)=−2x+4 e pela direita f(x)=0. Tem-se limₓ→2⁻f(x)=−2·2+4=0 e limₓ→2⁺f(x)=0. Como f(2)=0 e ambos os limites são 0, f é contínua em x=2.

Resposta

(a) Não. Porque limₓ→0⁻f(x)=−1≠limₓ→0⁺f(x)=0. (b) Não. Porque limₓ→1f(x)=2≠f(1)=1. © Sim. Porque limₓ→2⁻f(x)=limₓ→2⁺f(x)=f(2)=0.

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