Considere a seguinte equação diferencial
Determine as afirmativas verdadeiras com relação as soluções dessa equação.
Escolha uma ou mais:
para
Escolha uma ou mais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencialzinha do tipo:
Essa equação tá relacionada ao conteúdo de Equações Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Pra resolver, vamos precisar aplicar a fórmula característica e analisar as raízes pra entender o comportamento das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a fórmula característica. Pra equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, a gente assume soluções do tipo $ e^{rt} $. Substituindo na equação, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática em $ r $. A gente usa a fórmula de Bhaskara:
Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
Passo 4
O discriminante deu $ \Delta = 1 $, que é positivo. Isso significa que temos duas raízes reais e distintas. Então:
Calculando as duas raízes:
Passo 5
Com as raízes $ r_1 = \alpha $ e $ r_2 = \alpha -1 $, a solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos analisar o comportamento de $ y(t) $ conforme $ t $ aumenta, especialmente para $ \alpha < 0 $.
-
Primeiro termo: $ e^{\alpha t} $
- Se $ \alpha < 0 $, então $ e^{\alpha t} $ tende a 0 quando $ t $ vai para infinito.
-
Segundo termo: $ e^{(\alpha -1)t} $
- Como $ \alpha -1 < \alpha < 0 $, esse termo também tende a 0 ainda mais rápido.
Passo 7
Então, juntando tudo, quando $ \alpha < 0 $, ambos os termos na solução geral tendem a zero conforme $ t $ aumenta. Portanto, a solução $ y(t) $ também tende a zero.
Resposta
A afirmativa “$ y \rightarrow 0 $ para $ \alpha < 0 $” é verdadeira.