Considere a seguinte equação diferencial
y^prime prime-(2 alpha-1) y^prime+alpha(alpha-1) y=0
Determine as afirmativas verdadeiras com relação as soluções dessa equação.
Escolha uma ou mais:
y 0 para alpha<0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencialzinha do tipo:
y'' - (2alpha -1) y' + alpha(alpha -1)y = 0
Essa equação tá relacionada ao conteúdo de Equações Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes. Pra resolver, vamos precisar aplicar a fórmula característica e analisar as raízes pra entender o comportamento das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a fórmula característica. Pra equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes, a gente assume soluções do tipo $ e^{rt} $. Substituindo na equação, temos:
e^rt

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática em $ r $. A gente usa a fórmula de Bhaskara:
r
Vamos calcular o discriminante ($ \Delta $):
r = (2alpha -1) pm raiz(2alpha -1)^2 - 4 cdot 1 cdot alpha(alpha -1)2
De

Passo 4

O discriminante deu $ \Delta = 1 $, que é positivo. Isso significa que temos duas raízes reais e distintas. Então:
De
Calculando as duas raízes:
r = 2alpha -1 pm 12
r1 = 2alpha -1 + 12 = 2alpha2 = alpha

Passo 5

Com as raízes $ r_1 = \alpha $ e $ r_2 = \alpha -1 $, a solução geral da equação diferencial é:
r1 = alpha
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos analisar o comportamento de $ y(t) $ conforme $ t $ aumenta, especialmente para $ \alpha < 0 $.
  • Primeiro termo: $ e^{\alpha t} $
    • Se $ \alpha < 0 $, então $ e^{\alpha t} $ tende a 0 quando $ t $ vai para infinito.
  • Segundo termo: $ e^{(\alpha -1)t} $
    • Como $ \alpha -1 < \alpha < 0 $, esse termo também tende a 0 ainda mais rápido.

Passo 7

Então, juntando tudo, quando $ \alpha < 0 $, ambos os termos na solução geral tendem a zero conforme $ t $ aumenta. Portanto, a solução $ y(t) $ também tende a zero.

Resposta

A afirmativa “$ y \rightarrow 0 $ para $ \alpha < 0 $” é verdadeira.

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