Verifique que as sequências
abaixo são decrescentes e tem limitante inferior. O que você pode dizer a respeito da convergência destas sequências?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
é decrescente, possui limitante inferior e, a partir disso, dizer se ela converge e para qual valor. O conteúdo envolvido é o de sequências monotônicas e seus limites.
Passo 2
Para provar que é decrescente, comparamos
com
. Calculamos a razão
Como para todo
temos
, segue que
ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 3
Para ver que há um limitante inferior, basta notar que para todo
logo
Assim,
é um limitante inferior.
Passo 4
Pelo Teorema da Convergência de sequências monotônicas, qualquer sequência decrescente e limitada inferiormente converge. Para descobrir o limite usamos um resultado padrão (ou ainda L’Hôpital em uma versão contínua), que mostra que
Portanto, a sequência converge.
Passo 5
Como a sequência é decrescente, fica sempre acima de
e tende a zero, concluímos que ela converge para
.
Resposta
A sequência converge e seu limite é 0.