Verifique que as sequências an abaixo são decrescentes e tem limitante inferior. O que você pode dizer a respeito da convergência destas sequências?
an=n3^n, n >= 1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência an=n3^n é decrescente, possui limitante inferior e, a partir disso, dizer se ela converge e para qual valor. O conteúdo envolvido é o de sequências monotônicas e seus limites.

Passo 2

Para provar que é decrescente, comparamos an+1 com an. Calculamos a razão
an+1an = n+13^n+1n3^n = n+13n
Como para todo n>=1 temos n+13n<1, segue que
an+1
ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 3

Para ver que há um limitante inferior, basta notar que para todo n>=1
3^n>0e n>0
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an=n3^n>0
Assim, 0 é um limitante inferior.

Passo 4

Pelo Teorema da Convergência de sequências monotônicas, qualquer sequência decrescente e limitada inferiormente converge. Para descobrir o limite usamos um resultado padrão (ou ainda L’Hôpital em uma versão contínua), que mostra que
limntoinftyn3^n=0
Portanto, a sequência converge.

Passo 5

Como a sequência é decrescente, fica sempre acima de 0 e tende a zero, concluímos que ela converge para 0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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