Considere a seguinte equação diferencial
y^prime prime-(2 alpha-1) y^prime+alpha(alpha-1) y=0
Determine as afirmativas verdadeiras com relação as soluções dessa equação.
Escolha uma ou mais:
y 0 para alpha<1

Passo 1

A equação diferencial dada é de segunda ordem com coeficientes constantes: y'' - (2alpha - 1)y' + alpha(alpha - 1)y = 0 Para resolver precisamos usar a equação característica e depois analisar o comportamento assintótico das soluções.

Passo 2

Formulamos a equação característica substituindo ysim e^rx:
r^2 - (2alpha - 1)r + alpha(alpha - 1) = 0

Passo 3

Calculamos o discriminante:
De
Logo as raízes são
r = 2alpha -1 pm 12
isto é r1 = alpha e r2 = alpha - 1.

Passo 4

A solução geral da equação é
y(x) = C1 e^alpha x + C2 e^(alpha - 1)x

Passo 5

Para que y(x)to0 quando xto+infty para quaisquer constantes C1,C2, ambos os expoentes devem ser negativos:
alpha < 0 e alpha - 1 < 0 implies alpha < 0

Passo 6

A afirmativa proposta diz “ yto0 para alpha<1”. Isso permitiria valores em 0<=alpha<1, nos quais e^alpha x diverge. Portanto essa afirmativa é falsa.

Resposta

A afirmativa é falsa.

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