Use o teorema de comparação para mostrar que a integral
integral1^+infty 12 x^2+f(x)+50 d x
é convergente.
Dica: Compare a função 12 x^2+[(x)+50 com 1x^2.

Passo 1

Temos uma integral imprópria de 1 até +∞: precisamos mostrar que $ integral1^infty 12x^2+f(x)+50,dx é convergente usando o teste de comparação. O conteúdo aqui é o teste de comparação para integrais impróprias, em particular o caso p-integral, em que sabemos que $$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}},dx$$ converge se e somente se p>1.

Passo 2

Para aplicar o teste de comparação, vamos encontrar uma função maior que domine o nosso integrando. Para x≥1, supondo f(x)≥0, temos f(x)+50≥0 e, portanto,$$
2x^{2}+f(x)+50 \ge 2x^{2}$$Logo,

Passo 3

isso implica$$
0\le \frac{1}{2x^{2}+f(x)+50}\le \frac{1}{2x{2}}=\frac{1}{2},x{-2}.$$

Passo 4

Agora identificamos a integral comparadora$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2}x^{-2},dx.$$

Passo 5

Calculando essa integral:

Passo 6

$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2}x^{-2},dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{\infty} x^{-2},dx = \frac{1}{2}\Bigl[-x{-1}\Bigr]_{1}{\infty} = \frac{1}{2}(0-(-1)) = \frac{1}{2}.$$

Passo 7

Como esta integral comparadora converge (é finita), pelo teste de comparação segue que a integral original também converge.

Resposta

A integral integral1^infty12x^2+f(x)+50,dx é convergente (está limitada superiormente por 1/2).

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