Use o teorema de comparação para mostrar que a integral
é convergente.
Dica: Compare a função
com
.
Dica: Compare a função
Passo 1
Temos uma integral imprópria de 1 até +∞: precisamos mostrar que $
é convergente usando o teste de comparação. O conteúdo aqui é o teste de comparação para integrais impróprias, em particular o caso p-integral, em que sabemos que $$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}},dx$$ converge se e somente se p>1.
Passo 2
Para aplicar o teste de comparação, vamos encontrar uma função maior que domine o nosso integrando. Para x≥1, supondo f(x)≥0, temos f(x)+50≥0 e, portanto,$$
2x^{2}+f(x)+50 \ge 2x^{2}$$Logo,
Passo 3
isso implica$$
0\le \frac{1}{2x^{2}+f(x)+50}\le \frac{1}{2x{2}}=\frac{1}{2},x{-2}.$$
Passo 4
Agora identificamos a integral comparadora$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2}x^{-2},dx.$$
Passo 5
Calculando essa integral:
Passo 6
$$
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2}x^{-2},dx = \frac{1}{2}\int_{1}^{\infty} x^{-2},dx = \frac{1}{2}\Bigl[-x{-1}\Bigr]_{1}{\infty} = \frac{1}{2}(0-(-1)) = \frac{1}{2}.$$
Passo 7
Como esta integral comparadora converge (é finita), pelo teste de comparação segue que a integral original também converge.
Resposta
A integral
é convergente (está limitada superiormente por 1/2).