Considere a seguinte equação diferencial
Determine as afirmativas verdadeiras com relação as soluções dessa equação.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar as soluções dessa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
A equação característica é:
No nosso caso, comparando com a equação dada:
vemos que $ b = -(2\alpha -1) $ e $ c = \alpha(\alpha -1) $. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Lembrando que para uma equação $ ar^2 + br + c = 0 $, as soluções são dadas por:
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 4
Vamos simplificar o discriminante $ \Delta $:
Expandindo:
Então, $ \Delta = 1 $, que é um número positivo. Isso significa que temos duas raízes reais e distintas.
Passo 5
Com o discriminante sendo positivo, as soluções para $ r $ são:
Calculando as duas raízes:
Para o sinal positivo:
Para o sinal negativo:
Passo 6
Agora que temos as raízes $ r_1 = \alpha $ e $ r_2 = \alpha -1 $, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando as raízes são reais e distintas, a solução geral é:
Substituindo $ r_1 $ e $ r_2 $:
Resposta
As soluções da equação diferencial são combinações lineares das funções $ e^{\alpha x} $ e $ e^{(\alpha -1)x} $. Ou seja,