Considere a seguinte equação diferencial
y^prime prime-(2 alpha-1) y^prime+alpha(alpha-1) y=0
Determine as afirmativas verdadeiras com relação as soluções dessa equação.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' - (2alpha -1)y' + alpha(alpha -1)y = 0
O conteúdo aqui envolve equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar a equação característica, que nos ajuda a encontrar as soluções dessa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma:
y'' + b y' + c y = 0
A equação característica é:
r^2 + b r + c = 0
No nosso caso, comparando com a equação dada:
y'' - (2alpha -1)y' + alpha(alpha -1)y = 0
vemos que $ b = -(2\alpha -1) $ e $ c = \alpha(\alpha -1) $. Então, a equação característica fica:
b = -(2alpha -1)

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Lembrando que para uma equação $ ar^2 + br + c = 0 $, as soluções são dadas por:
r
Aplicando isso na nossa equação:
ar^2 + br + c = 0

Passo 4

Vamos simplificar o discriminante $ \Delta $:
De
Expandindo:
De
Então, $ \Delta = 1 $, que é um número positivo. Isso significa que temos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Com o discriminante sendo positivo, as soluções para $ r $ são:
r
Calculando as duas raízes:
Para o sinal positivo:
r = (2alpha -1) pm 12
Para o sinal negativo:
r1 = 2alpha -1 + 12 = 2alpha2 = alpha

Passo 6

Agora que temos as raízes $ r_1 = \alpha $ e $ r_2 = \alpha -1 $, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando as raízes são reais e distintas, a solução geral é:
r1 = alpha
Substituindo $ r_1 $ e $ r_2 $:
r2 = alpha -1

Resposta

As soluções da equação diferencial são combinações lineares das funções $ e^{\alpha x} $ e $ e^{(\alpha -1)x} $. Ou seja,
e^alpha x

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