Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Apresente um contraexemplo ou uma justificativa para as falsas.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Seja f: R R é função não-nula tal que lim x p f(x)=0. Então lim x p 1f(x)=+infty.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função f:RtoR não-nula com limxto pf(x)=0 e pergunta se sempre vale limxto ptfrac1f(x)=+infty. Vamos usar conceitos básicos de limites de funções recíprocas para analisar isso.

Passo 2

Sabemos que, quando f(x)to0, o comportamento de 1/f(x) depende do sinal de f(x) perto de p. Se f(x)>0 para x próximo de p, então de fato 1/f(x)to+infty. Mas se f(x) assumir valores negativos ou mudar de sinal, o limite de 1/f(x) pode não ser +infty ou mesmo nem existir.

Passo 3

Considere o contraexemplo
f(x)=x
e p=0.
Temos
limxto0f(x)=limxto0x=0
Porém
1f(x)=1x,
e
limxto0^+1x=+infty,limxto0^-1x=-infty
Logo o limite bilateral limxto01/x não existe e definitivamente não é +infty.

Passo 4

Portanto a afirmação geral é falsa, pois encontramos um contraexemplo que torna limxto p1/f(x) não igual a +infty.

Resposta

Falso. Contraexemplo: f(x)=x em p=0 dá limxto0f(x)=0 mas limxto01/f(x) não existe (não é +infty).

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