Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Apresente um contraexemplo ou uma justificativa para as falsas.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Seja
é função não-nula tal que
. Então
.
Não serão consideradas as respostas FALSO sem contra-exemplo, representação gráfica ou justificativa.
Seja
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função
não-nula com
e pergunta se sempre vale
. Vamos usar conceitos básicos de limites de funções recíprocas para analisar isso.
Passo 2
Sabemos que, quando
, o comportamento de
depende do sinal de
perto de
. Se
para
próximo de
, então de fato
. Mas se
assumir valores negativos ou mudar de sinal, o limite de
pode não ser
ou mesmo nem existir.
Passo 3
Considere o contraexemplo
f(x)=x
e p=0.
Temos
Porém
e
Logo o limite bilateral
não existe e definitivamente não é
.
Passo 4
Portanto a afirmação geral é falsa, pois encontramos um contraexemplo que torna
não igual a
.
Resposta
Falso. Contraexemplo: f(x)=x em p=0 dá
mas
não existe (não é
).