A temperatura de um objeto em um forno é descrita pela função:
T(t)=e^sen(t^2)+ln [1+cos ^2(t)]^3
onde t é o tempo em segundos e T(t) é a temperatura em graus Celsius.
Utilizando a regra da cadeia, determine T^prime(t). Sugestão: divida a função em duas parcelas.

Passo 1

Resumo do enunciado e o que vamos precisar: temos a função T(t) = e^sin(t^2) + lnl([1+cos^2(t)]^3r). O conteúdo é derivadas e, em especial, a regra da cadeia. Vamos dividir em duas parcelas e derivar cada uma separadamente.

Passo 2

Para a primeira parcela e^sin(t^2), aplicamos a regra da cadeia. Seja u(t) = sin(t^2). Então, derivando, temos:
ddte^u(t) = e^u(t)cdot u'(t)
e
u'(t) = ddtsin(t^2) = cos(t^2)cdot 2t
Assim, a derivada da primeira parcela é
ddte^sin(t^2) = 2tcos(t^2)e^sin(t^2)

Passo 3

Para a segunda parcela lnl([1+cos^2(t)]^3r), usamos regra da cadeia em cascata. Primeiro, seja v(t) = [1+cos^2(t)]^3. Para ln v(t), temos
ddtln v(t) = v'(t)v(t)

Passo 4

Agora derivamos v(t) = w(t)^3 com w(t) = 1+cos^2(t). Usando novamente a cadeia,
ddtw^3 = 3w^2cdot w'(t)
e
w'(t) = ddt(1+cos^2(t)) = -2cos(t)sin(t)
Portanto,
v'(t) = 3(1+cos^2(t))^2cdot(-2cos(t)sin(t)) = -6cos(t)sin(t)(1+cos^2(t))^2

Passo 5

Substituindo em v'(t)v(t) e cancelando potências, obtemos
v'(t)v(t) = -6cos(t)sin(t)(1+cos^2(t))^2(1+cos^2(t))^3 = -6cos(t)sin(t)1+cos^2(t)
Assim, a derivada da segunda parcela é -6cos(t)sin(t)1+cos^2(t).

Passo 6

Por fim, somamos as duas derivadas conforme a linearidade da derivada. Chegamos a:
T'(t) = 2tcos(t^2)e^sin(t^2) - 6cos(t)sin(t)1+cos^2(t)

Resposta

T'(t) = 2tcos(t^2)e^sin(t^2) - 6cos(t)sin(t)1+cos^2(t)

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