Responda a cada um dos itens abaixo:
(a) determine duas soluçōes linearmente independentes da equação e justifique sua resposta;
(b) apresente a soluçāo geral da equaçāo.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y''-4y'+8y=0.
As perguntas são:
(a) determinar duas soluções linearmente independentes da equação e justificar por que são independentes;
(b) apresentar a solução geral da equação.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vou usar). Para equações lineares com coeficientes constantes é muito útil tentar uma solução da forma exponencial
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. A razão é que as derivadas de e^{r x} são múltiplos de e^{r x}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). Vou mostrar passo a passo essa substituição.
Passo 3
Substituo y=e^{r x} na equação. As derivadas são
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo em \;y''-4y'+8y=0\; e dividindo por e^{r x} (não nulo), obtenho a equação característica:
r^{2}-4r+8=0.
Agora resolvo essa equação quadrática com a fórmula de Bhaskara:
Interpretação das raízes complexas (aula rápida). Quando as raízes da equação característica são um par de complexos conjugados \alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta\in\mathbb{R}, \beta\neq0), duas soluções reais independentes da equação diferencial são
Isso vem de escrever e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x) (fórmula de Euler) e tomar as partes real e imaginária, que satisfazem a equação real original.
No nosso caso \alpha=2 e \beta=2. Portanto proponho as soluções
Como 2e^{4x}\neq 0 para todo x, o Wronskiano não se anula e as funções y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em toda \mathbb{R}.]
Passo 6
Solução geral (explicação final). Para uma equação linear homogênea de segunda ordem, a combinação linear de duas soluções linearmente independentes gera toda a solução geral. Assim a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{2x}\cos 2x + C_{2}e^{2x}\sin 2x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.
Resposta
(a) y_{1}(x)=e^{2x}\cos 2x e y_{2}(x)=e^{2x}\sin 2x.
(b) \displaystyle y(x)=C_{1}e^{2x}\cos 2x + C_{2}e^{2x}\sin 2x, com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.