Considere a seguinte equação diferencial
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y=0
Responda a cada um dos itens abaixo:
(a) determine duas soluçōes linearmente independentes da equação e justifique sua resposta;
(b) apresente a soluçāo geral da equaçāo.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y''-4y'+8y=0.
As perguntas são:
(a) determinar duas soluções linearmente independentes da equação e justificar por que são independentes;
(b) apresentar a solução geral da equação.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vou usar). Para equações lineares com coeficientes constantes é muito útil tentar uma solução da forma exponencial
y(x)=e^{r x},
onde r é um número (possivelmente complexo) a determinar. A razão é que as derivadas de e^{r x} são múltiplos de e^{r x}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). Vou mostrar passo a passo essa substituição.

Passo 3

Substituo y=e^{r x} na equação. As derivadas são
y'(x)=r e^{r x},\qquad y''(x)=r^{2} e^{r x}.
Substituindo em \;y''-4y'+8y=0\; e dividindo por e^{r x} (não nulo), obtenho a equação característica:
r^{2}-4r+8=0.
Agora resolvo essa equação quadrática com a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot8}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-32}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{-16}}{2}.
Como \sqrt{-16}=4i, os raízes são
r= \frac{4\pm 4i}{2}=2\pm 2i.

Passo 4

Interpretação das raízes complexas (aula rápida). Quando as raízes da equação característica são um par de complexos conjugados \alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta\in\mathbb{R}, \beta\neq0), duas soluções reais independentes da equação diferencial são
y_{1}(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x),\qquad y_{2}(x)=e^{\alpha x}\sin(\beta x).
Isso vem de escrever e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x + i\sin\beta x) (fórmula de Euler) e tomar as partes real e imaginária, que satisfazem a equação real original.
No nosso caso \alpha=2 e \beta=2. Portanto proponho as soluções
y_{1}(x)=e^{2x}\cos(2x),\qquad y_{2}(x)=e^{2x}\sin(2x).

Passo 5

Justificativa da independência linear (cálculo do Wronskiano). Para mostrar que y_{1} e y_{2} são linearmente independentes, calculo o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x)= \begin{vmatrix} y_{1}(x) & y_{2}(x)\\[4pt] y_{1}'(x) & y_{2}'(x) \end{vmatrix}.
Primeiro as derivadas:
y_{1}'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{2x}\cos 2x\big) =2e^{2x}\cos 2x -2e^{2x}\sin 2x =2e^{2x}\big(\cos 2x-\sin 2x\big),
y_{2}'(x)=\frac{d}{dx}\big(e^{2x}\sin 2x\big) =2e^{2x}\sin 2x +2e^{2x}\cos 2x =2e^{2x}\big(\sin 2x+\cos 2x\big).
Agora o determinante:
W(y_{1},y_{2})(x) = \begin{vmatrix} e^{2x}\cos 2x & e^{2x}\sin 2x\\[4pt] 2e^{2x}(\cos 2x-\sin 2x) & 2e^{2x}(\sin 2x+\cos 2x) \end{vmatrix}.
Fatorando e^{2x} da primeira linha e 2e^{2x} da segunda linha obtemos
W(y_{1},y_{2})(x)=2e^{4x} \begin{vmatrix} \cos 2x & \sin 2x\\[4pt] \cos 2x-\sin 2x & \sin 2x+\cos 2x \end{vmatrix}.
Calculo do pequeno determinante:
\cos 2x(\sin 2x+\cos 2x)-\sin 2x(\cos 2x-\sin 2x) =\cos 2x\sin 2x+\cos^{2}2x-\sin 2x\cos 2x+\sin^{2}2x =\cos^{2}2x+\sin^{2}2x=1.
Portanto
W(y_{1},y_{2})(x)=2e^{4x}.
Como 2e^{4x}\neq 0 para todo x, o Wronskiano não se anula e as funções y_{1} e y_{2} são linearmente independentes em toda \mathbb{R}.]

Passo 6

Solução geral (explicação final). Para uma equação linear homogênea de segunda ordem, a combinação linear de duas soluções linearmente independentes gera toda a solução geral. Assim a solução geral é
y(x)=C_{1}e^{2x}\cos 2x + C_{2}e^{2x}\sin 2x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Resposta

(a) y_{1}(x)=e^{2x}\cos 2x e y_{2}(x)=e^{2x}\sin 2x.
(b) \displaystyle y(x)=C_{1}e^{2x}\cos 2x + C_{2}e^{2x}\sin 2x, com C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.

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