Um condensador de capacidade C farads e carga Q coulombs, é descarregado através de uma resistência de R ohms e uma indutância de L henries. Sendo assim, determine a condição para o que circuito seja oscilante.

Passo 1

O enunciado nos dá um circuito composto por um condensador com capacidade C (farads) que inicialmente tem carga Q (coulombs) e é descarregado através de uma resistência R (ohms) e de uma indutância L (henries). A pergunta é: determinar a condição para que o circuito seja oscilante.
Informações relevantes fornecidas:
  • Capacitância: C.
  • Indutância: L.
  • Resistência: R.
  • Carga inicial no condensador: Q.
  • Pedido: condição sobre os parâmetros (principalmente R,L,C) que garante comportamento oscilante durante a descarga.

Passo 2

Vamos modelar matematicamente o circuito. Defina q(t) como a carga no condensador no instante t. A corrente no circuito é i(t)=\dfrac{dq}{dt} com sinal apropriado (a convenção que usarmos será consistente). Pelo segundo princípio de Kirchhoff (soma das quedas de tensão em série = 0), somando a tensão no indutor, na resistência e no condensador:
L\frac{d^2 q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{1}{C}q = 0.
Explicando cada termo:
  • L\frac{d^2 q}{dt^2} é a queda de tensão no indutor (pois v_L = L\,di/dt = L\,d^2q/dt^2).
  • R\frac{dq}{dt} é a queda de tensão na resistência (pois v_R = R i = R\,dq/dt).
  • \dfrac{1}{C}q é a tensão no condensador (pois v_C = q/C).

Passo 3

A equação diferencial obtida é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Escrevendo-a de forma padrão:
L q''(t) + R q'(t) + \frac{1}{C} q(t) = 0.
Para resolver e, principalmente, classificar o tipo de solução, consideramos a equação característica associada, substituindo q(t)\sim e^{rt} e obtendo:
L r^2 + R r + \frac{1}{C} = 0.

Passo 4

As raízes da equação característica são dadas por:
r = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4\displaystyle L\cdot\frac{1}{C}}}{2L} = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - \dfrac{4L}{C}}}{2L}.
Definimos duas quantidades úteis para interpretar essas raízes:
  • fator de amortecimento (decadência): \displaystyle \alpha = \frac{R}{2L}.
  • frequência natural não amortecida: \displaystyle \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.
Reescrevendo o discriminante em termos de \alpha e \omega_0:
R^2 - \frac{4L}{C} = (2L\alpha)^2 - 4L\cdot\frac{1}{C} = 4L^2\alpha^2 - 4L\omega_0^2 = 4L^2\left(\alpha^2 - \omega_0^2\right).

Passo 5

Classificação das soluções segundo o sinal do discriminante (ou equivalente comparação entre \alpha e \omega_0):
  • Se \alpha > \omega_0 então o discriminante é positivo e as raízes são reais e negativas distintas → regime superamortecido (sem oscilações).
  • Se \alpha = \omega_0 então o discriminante é zero → regime criticamente amortecido (sem oscilações, decaimento mais rápido sem oscilar).
  • Se \alpha < \omega_0 então o discriminante é negativo e as raízes são complexas conjugadas com parte real negativa → regime subamortecido (oscilações amortecidas).
Portanto o circuito será oscilante quando as raízes forem complexas, isto é quando
\alpha < \omega_0.

Passo 6

Agora substituímos \alpha e \omega_0 pelas expressões em R,L,C:
\frac{R}{2L} < \frac{1}{\sqrt{LC}}.
Multiplicando ambos os lados por 2L (positivo) e simplificando:
R < 2L\cdot\frac{1}{\sqrt{LC}} = 2\sqrt{\frac{L}{C}}.
Uma forma equivalente, obtida elevando ambos os lados ao quadrado, é
R^2 < \frac{4L}{C}.

Passo 7

Interpretação física e forma explícita da oscilação (para fixar a ideia). No caso oscilante ( \alpha<\omega_0) a solução para a carga é uma oscilação amortecida:
q(t) = Q\,e^{-\alpha t}\!\left(\cos(\omega_d t) + \frac{\alpha}{\omega_d}\sin(\omega_d t)\right),
onde a frequência angular das oscilações amortecidas é
\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2} = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}}.
Isso mostra que, quando a condição anterior é satisfeita, o circuito oscila com frequência \omega_d e amplitude decaindo exponencialmente com taxa \alpha.

Resposta

R < 2\sqrt{\dfrac{L}{C}}

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