Um condensador de capacidade
farads e carga
coulombs, é descarregado através de uma resistência de
ohms e uma indutância de
henries. Sendo assim, determine a condição para o que circuito seja oscilante.
Passo 1
O enunciado nos dá um circuito composto por um condensador com capacidade
(farads) que inicialmente tem carga
(coulombs) e é descarregado através de uma resistência
(ohms) e de uma indutância
(henries). A pergunta é: determinar a condição para que o circuito seja oscilante.
Informações relevantes fornecidas:
- Capacitância:
. - Indutância:
. - Resistência:
. - Carga inicial no condensador:
. - Pedido: condição sobre os parâmetros (principalmente
) que garante comportamento oscilante durante a descarga.
Passo 2
Vamos modelar matematicamente o circuito. Defina
como a carga no condensador no instante
. A corrente no circuito é
com sinal apropriado (a convenção que usarmos será consistente). Pelo segundo princípio de Kirchhoff (soma das quedas de tensão em série = 0), somando a tensão no indutor, na resistência e no condensador:
Explicando cada termo:
-
é a queda de tensão no indutor (pois ). -
é a queda de tensão na resistência (pois ). -
é a tensão no condensador (pois ).
Passo 3
A equação diferencial obtida é uma equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Escrevendo-a de forma padrão:
Para resolver e, principalmente, classificar o tipo de solução, consideramos a equação característica associada, substituindo
e obtendo:
Passo 4
As raízes da equação característica são dadas por:
Definimos duas quantidades úteis para interpretar essas raízes:
- fator de amortecimento (decadência):
. - frequência natural não amortecida:
.
Reescrevendo o discriminante em termos de
e
:
Passo 5
Classificação das soluções segundo o sinal do discriminante (ou equivalente comparação entre
e
):
- Se
então o discriminante é positivo e as raízes são reais e negativas distintas → regime superamortecido (sem oscilações). - Se
então o discriminante é zero → regime criticamente amortecido (sem oscilações, decaimento mais rápido sem oscilar). - Se
então o discriminante é negativo e as raízes são complexas conjugadas com parte real negativa → regime subamortecido (oscilações amortecidas).
Portanto o circuito será oscilante quando as raízes forem complexas, isto é quando
Passo 6
Agora substituímos
e
pelas expressões em
:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo) e simplificando:
Uma forma equivalente, obtida elevando ambos os lados ao quadrado, é
Passo 7
Interpretação física e forma explícita da oscilação (para fixar a ideia). No caso oscilante (
) a solução para a carga é uma oscilação amortecida:
onde a frequência angular das oscilações amortecidas é
Isso mostra que, quando a condição anterior é satisfeita, o circuito oscila com frequência
e amplitude decaindo exponencialmente com taxa
.