Resolva o problema de valor inicial
\begin{gathered} y^{\prime \prime}+4 y=\sin (t) \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=1 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (peguei tudo do enunciado):
\begin{gathered} y^{\prime\prime}+4y=\sin(t)\\\ y(0)=1\\\ y^\prime(0)=1 \end{gathered}
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. As informações relevantes são a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e a força externa \sin(t), além das duas condições iniciais em t=0.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada (ou seja, desprezando o termo \sin(t)):
y^{\prime\prime}+4y=0.
Explicação do método: para equações lineares de coeficientes constantes tenta-se uma solução do tipo y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em r:
r^2+4=0.
Resolver essa equação polinomial dá as raízes r=\pm 2i. Quando as raízes são complexas conjugadas \alpha\pm i\beta a solução geral da homogênea é e^{\alpha t}(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)). Aqui \alpha=0 e \beta=2, logo a solução da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias a determinar com as condições iniciais.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(t) da equação completa. Vou usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Ideia e condições: quando o termo for uma combinação de senos, cossenos e polinômios, faz-se um palpite com a mesma forma (multiplicado por polinômios em t se houver ressonância). Aqui o termo forçante é \sin(t), que sugere tentar
y_p(t)=A\cos(t)+B\sin(t),
onde A e B são constantes a encontrar. Observação sobre ressonância: se \sin(t) tivesse a mesma frequência que um termo da solução homogênea (ou seja, frequência 2), seria preciso multiplicar o palpite por t. Aqui a frequência da forçante é 1, diferente de 2, então o palpite acima é adequado.

Passo 4

Calcular derivadas de y_p e substituir na equação para determinar A e B.
Derivadas:
y_p'(t)=-A\sin(t)+B\cos(t),
y_p''(t)=-A\cos(t)-B\sin(t).
Substituindo em \;y^{\prime\prime}+4y=\sin(t)\; obtemos
(-A\cos t - B\sin t) + 4(A\cos t + B\sin t) = \sin t.
Simplificando os coeficientes:
3A\cos t + 3B\sin t = \sin t.
Agora igualamos os coeficientes de \cos t e \sin t dos dois lados:
3A = 0,\qquad 3B = 1.
Logo
A=0,\qquad B=\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Portanto uma solução particular é
y_p(t)=\tfrac{1}{3}\sin t.
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\sin t,
onde C_1 e C_2 ainda serão determinados pelas condições iniciais. (Explicando: C_1 e C_2 representam os coeficientes livres da solução homogênea que ajustaremos para cumprir y(0) e y'(0).)

Passo 6

Usar as condições iniciais para encontrar C_1 e C_2.
Primeiro avalia y(0). Como \cos(0)=1 e \sin(0)=0,
y(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 + \tfrac{1}{3}\cdot 0 = C_1.
A condição y(0)=1
C_1=1.
Agora calcular y'(t) para usar y'(0)=1. Derivando a solução geral:
y'(t) = -2C_1\sin(2t) + 2C_2\cos(2t) + \tfrac{1}{3}\cos t.
Avaliar em t=0 (lembrando \sin 0=0, \cos 0=1):
y'(0) = -2C_1\cdot 0 + 2C_2\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\cdot 1 = 2C_2 + \tfrac{1}{3}.
A condição y'(0)=1 implica
2C_2 + \tfrac{1}{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad 2C_2 = \tfrac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad C_2=\tfrac{1}{3}.

Passo 7

Resumo dos coeficientes encontrados:
C_1=1,\qquad C_2=\tfrac{1}{3}.
Com esses valores a solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais está totalmente determinada. (Na prova: explique cada passo como fizemos — homogênea via equação característica, palpite para a particular com a mesma forma da forçante, igualar coeficientes e aplicar condições iniciais.)

Resposta

y(t)=\cos(2t)+\tfrac{1}{3}\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\sin t

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