Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (peguei tudo do enunciado):
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais dadas. As informações relevantes são a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e a força externa
, além das duas condições iniciais em
.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada (ou seja, desprezando o termo
):
Explicação do método: para equações lineares de coeficientes constantes tenta-se uma solução do tipo
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em
:
Resolver essa equação polinomial dá as raízes
. Quando as raízes são complexas conjugadas
a solução geral da homogênea é
. Aqui
e
, logo a solução da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias a determinar com as condições iniciais.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Vou usar o método dos coeficientes a determinar (undetermined coefficients). Ideia e condições: quando o termo for uma combinação de senos, cossenos e polinômios, faz-se um palpite com a mesma forma (multiplicado por polinômios em
se houver ressonância). Aqui o termo forçante é
, que sugere tentar
onde
e
são constantes a encontrar. Observação sobre ressonância: se
tivesse a mesma frequência que um termo da solução homogênea (ou seja, frequência
), seria preciso multiplicar o palpite por
. Aqui a frequência da forçante é
, diferente de
, então o palpite acima é adequado.
Passo 4
Calcular derivadas de
e substituir na equação para determinar
e
.
Derivadas:
Substituindo em
obtemos
Simplificando os coeficientes:
Agora igualamos os coeficientes de
e
dos dois lados:
Logo
Passo 5
Portanto uma solução particular é
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
ainda serão determinados pelas condições iniciais. (Explicando:
e
representam os coeficientes livres da solução homogênea que ajustaremos para cumprir
e
.)
Passo 6
Usar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro avalia
. Como
e
,
A condição
dá
Agora calcular
para usar
. Derivando a solução geral:
Avaliar em
(lembrando
,
):
A condição
implica
Passo 7
Resumo dos coeficientes encontrados:
Com esses valores a solução que satisfaz a equação diferencial e as condições iniciais está totalmente determinada. (Na prova: explique cada passo como fizemos — homogênea via equação característica, palpite para a particular com a mesma forma da forçante, igualar coeficientes e aplicar condições iniciais.)