Determine a temperatura
em cada ponto de uma barra de comprimento 1, que satisfaz a equação diferencial
dado que as extremidades
e
são mantidas à temperatura zero, isto é:
e sabendo que a barra está inicialmente à temperatura:
Passo 1
O enunciado é a equação do calor unidimensional
em uma barra de comprimento 1, com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
. Vamos usar separação de variáveis e expansão em autovetores (funções próprias).
Passo 2
Para resolver pela separação de variáveis, assumimos
. Substituindo em
dá
$$
X(x),T’(t)=100,X’’(x),T(t)
\frac{T’(t)}{100,T(t)}=\frac{X’’(x)}{X(x)}=-\lambda$$
com . As condições de contorno homogêneas em
levam à família de autovalores
e autofunções
,
.
com
Passo 3
Para cada modo
, a equação para
é
, cuja solução é
. A solução geral é superposição:
$$
u(x,t)=\sum_{n=1}{\infty}b_n,e{-100,n2\pi2 t},\sin(n\pi x)
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n,\sin(n\pi x)=\sin(2\pi x)-\sin(5\pi x)$$
Logo ,
e todos os outros
.
Logo
Passo 4
Substituindo os coeficientes na série, obtemos a solução fechada de cada modo presente:
$$
u(x,t)=e{-100,(2\pi)2,t},\sin(2\pi x)-e{-100,(5\pi)2,t},\sin(5\pi x)$$
Ou, escrevendo os expoentes de forma simplificada, e
.
Essa expressão é a temperatura em cada ponto e instante
, respeitando as condições de contorno e a inicial dada.
Ou, escrevendo os expoentes de forma simplificada,
Essa expressão é a temperatura em cada ponto