Determine a temperatura u(x, t) em cada ponto de uma barra de comprimento 1, que satisfaz a equação diferencial
partial^2 upartial x^2=1100 partial upartial t ; 00
dado que as extremidades x=0 e x=1 são mantidas à temperatura zero, isto é:
u(0, t)=u(1, t)=0, t>0
e sabendo que a barra está inicialmente à temperatura:
u(x, 0)=sen(2 pi x)-sen(5 pi x), 0 <= x <= 1

Passo 1

O enunciado é a equação do calor unidimensional ut = 100 ,uxx em uma barra de comprimento 1, com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(1,t)=0 e condição inicial u(x,0)=sin(2pi x)-sin(5pi x). Vamos usar separação de variáveis e expansão em autovetores (funções próprias).

Passo 2

Para resolver pela separação de variáveis, assumimos u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo em ut=100,uxx
$$
X(x),T’(t)=100,X’’(x),T(t) X(x),T'(t)=100,X''(x),T(t)
\frac{T’(t)}{100,T(t)}=\frac{X’’(x)}{X(x)}=-\lambda$$
com 100,X(x),T(t). As condições de contorno homogêneas em T'(t)100,T(t)=X''(x)X(x)=-lambda levam à família de autovalores lambda>0 e autofunções X, lambdan=(npi)^2.

Passo 3

Para cada modo n, a equação para Tn(t) é Tn'(t)=-100,(npi)^2,Tn(t), cuja solução é Tn(t)=e^-100,n^2pi^2,t. A solução geral é superposição:
$$
u(x,t)=\sum_{n=1}{\infty}b_n,e{-100,n2\pi2 t},\sin(n\pi x) u(x,t)=sumn=1^inftybn,e^-100,n^2pi^2 t,sin(npi x)êçã
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n,\sin(n\pi x)=\sin(2\pi x)-\sin(5\pi x)$$
Logo bn, u(x,0)=sumn=1^inftybn,sin(npi x)=sin(2pi x)-sin(5pi x) e todos os outros b2=1.

Passo 4

Substituindo os coeficientes na série, obtemos a solução fechada de cada modo presente:
$$
u(x,t)=e{-100,(2\pi)2,t},\sin(2\pi x)-e{-100,(5\pi)2,t},\sin(5\pi x)$$
Ou, escrevendo os expoentes de forma simplificada, u(x,t)=e^-100,(2pi)^2,t,sin(2pi x)-e^-100,(5pi)^2,t,sin(5pi x) e 100,(2pi)^2=400pi^2.
Essa expressão é a temperatura em cada ponto 100,(5pi)^2=2500pi^2 e instante x, respeitando as condições de contorno e a inicial dada.

Resposta

u(x,t)=e^-400,pi^2,t,sin(2pi x)-e^-2500,pi^2,t,sin(5pi x)

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