Considere uma corda elástica de comprimento
, cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento a partir da sua posição de equilíbrio, com velocidade inicial
Faça o gráfico de
, para
, e determine o deslocamento
. Mantenha em sua resposta apenas os termos não nulos, e escreva explicitamente os 3 primeiros termos não nulos.
Passo 1
A questão diz que temos uma corda de comprimento
com as extremidades presas, sujeita à equação da onda
. O que nos dão é a velocidade inicial
em forma de “triângulo”: cresce linearmente de zero até o meio
e depois decresce até zero em
. Precisamos fazer o gráfico de
e encontrar, por séries de Fourier seno, o deslocamento
, mostrando só os três primeiros termos não-nulos.
Resposta
O gráfico de
é uma rampa que vai de zero em
até
, voltando a zero em
:
Expandindo em série de senos, com modos
, chega-se a
onde os coeficientes ficam
Isso só é não-nulo para
ímpar. Os três primeiros termos não-nulos (
) são
Simplificando
,
,
, temos