Considere uma corda elástica de comprimento L, cujas extremidades são mantidas fixas. A corda é colocada em movimento a partir da sua posição de equilíbrio, com velocidade inicial
ut(x, 0)= 2 xL, & 0 <= x <= L2 2(L-x)L, & L2
Faça o gráfico de ut(x, 0), para 0 <= x <= L, e determine o deslocamento u(x, t). Mantenha em sua resposta apenas os termos não nulos, e escreva explicitamente os 3 primeiros termos não nulos.

Passo 1

A questão diz que temos uma corda de comprimento L com as extremidades presas, sujeita à equação da onda utt=c^2uxx. O que nos dão é a velocidade inicial ut(x,0) em forma de “triângulo”: cresce linearmente de zero até o meio x=L/2 e depois decresce até zero em x=L. Precisamos fazer o gráfico de ut(x,0) e encontrar, por séries de Fourier seno, o deslocamento u(x,t), mostrando só os três primeiros termos não-nulos.

Resposta

O gráfico de ut(x,0) é uma rampa que vai de zero em x=0 até ut(L/2,0)=1, voltando a zero em x=L:
ut(x,0)= 2xL, & 0<= x<= L2, 2(L-x)L, & L2< x<= L
Expandindo em série de senos, com modos npi x/L, chega-se a
u(x,t)=sumn=1^infty Bn,sinl(cnpi t/Lr),sinl(npi x/Lr),
onde os coeficientes ficam
Bn=8Lc,n^3pi^3,sinnpi2
Isso só é não-nulo para n ímpar. Os três primeiros termos não-nulos ( n=1,3,5) são
u(x,t)=8Lcpi^3l[;1cdotsinpi2,sincpi tL,sinpi xL -13^3,sin3pi2,sin3cpi tL,sin3pi xL +15^3,sin5pi2,sin5cpi tL,sin5pi xLr]
Simplificando sin(pi/2)=1, sin(3pi/2)=-1, sin(5pi/2)=1, temos
u(x,t)=8Lcpi^3l[;sincpi tL,sinpi xL +127,sin3cpi tL,sin3pi xL +1125,sin5cpi tL,sin5pi xLr]+cdots

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