Considere a seguinte equação diferencial:
-2 y+(x+y^3x) y^prime=0
b) Encontre a solução geral da equação diferencial;

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução geral da EDO de primeira ordem
-2y + l(x + y^3xr),y' = 0
Isso é um problema de equação diferencial exata (ou que pode ser tornada exata via fator integrante).

Passo 2

Vamos passar para a forma diferencial
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
onde
M(x,y) = -2y, N(x,y)=x + y^3x

Passo 3

Testando exatidão direta vemos que
partial Mpartial y = -2, partial Npartial x = 1 - y^3x^2,
não são iguais. Então buscamos um fator integrante do tipo
mu(x,y)=x^a,y^b

Passo 4

Impondo a condição de exatidão em
M^*=mu M, N^*=mu N
e resolvendo para a e b, obtemos a=1 e b=-2. Logo
mu(x,y)=xy^2

Passo 5

Multiplicando a equação original por mu temos
M^* = -2ycdotxy^2 = -2xy, N^* = l(x+y^3xr)xy^2 = x^2y^2+y
Agora M^*dx+N^*dy=0 é exata.

Passo 6

Buscamos então uma função potencial psi(x,y) tal que
partialpsipartial x = -2xy
Integrando em relação a x:
psi(x,y) = -x^2y + h(y)
Para determinar h(y), usamos
partialpsipartial y = x^2y^2 + h'(y) stackrel!=x^2y^2+y,
logo h'(y)=y e h(y)=y^2/2.

Passo 7

A solução implícita vem de
psi(x,y)=C Longrightarrow -x^2y + y^22 = C

Resposta

-x^2y + y^22 = C

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