Dados
. Utilizando as propriedades da Adição e da Multiplicação em
, mostre que se tem, :
Passo 1
No enunciado temos que provar em ℤ, para inteiros a e b, que
. Vamos usar as propriedades de elemento neutro, inverso aditivo e distributividade da multiplicação sobre a adição em ℤ.
Passo 2
Pela definição de inverso aditivo, temos
Ou seja,
é o número que somado a
dá o elemento neutro aditivo
.
Passo 3
Multiplicamos essa igualdade por
usando que podemos multiplicar ambos os lados de uma igualdade por um mesmo elemento em ℤ:
Aqui já usamos a associatividade da multiplicação com a igualdade.
Passo 4
Pela distributividade da multiplicação sobre a adição em ℤ, o lado esquerdo se expande assim:
Portanto temos
Passo 5
Sabemos também que qualquer número multiplicado por
dá
, isto é:
Logo,
Isso mostra que
é o inverso aditivo de
, e por definição de inverso aditivo em ℤ, concluímos que
.
Resposta
(-a),b = -(a,b)