Dados a, b in Z. Utilizando as propriedades da Adição e da Multiplicação em Z, mostre que se tem, :
(-a) b=-a b

Passo 1

No enunciado temos que provar em ℤ, para inteiros a e b, que (-a),b = -(a,b). Vamos usar as propriedades de elemento neutro, inverso aditivo e distributividade da multiplicação sobre a adição em ℤ.

Passo 2

Pela definição de inverso aditivo, temos
a + (-a) = 0
Ou seja, (-a) é o número que somado a a dá o elemento neutro aditivo 0.

Passo 3

Multiplicamos essa igualdade por b usando que podemos multiplicar ambos os lados de uma igualdade por um mesmo elemento em ℤ:
(a + (-a)),b = 0,b
Aqui já usamos a associatividade da multiplicação com a igualdade.

Passo 4

Pela distributividade da multiplicação sobre a adição em ℤ, o lado esquerdo se expande assim:
(a + (-a)),b = a,b + (-a),b
Portanto temos
a,b + (-a),b = 0,b

Passo 5

Sabemos também que qualquer número multiplicado por 0 0, isto é:
0,b = 0
Logo,
a,b + (-a),b = 0
Isso mostra que (-a),b é o inverso aditivo de a,b, e por definição de inverso aditivo em ℤ, concluímos que (-a),b = -(a,b).

Resposta

(-a),b = -(a,b)

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