Sejam
e
. Mostre que:
e
se, e somente se,
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, para números inteiros $ a $ e $ b $ (onde $ c $ também é inteiro e $ c \neq 0 $), se $ a $ divide $ b $ e $ b $ divide $ a $, então o valor absoluto de $ a $ é igual ao valor absoluto de $ b $, ou seja, $ |a| = |b| $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um número dividir outro e como os valores absolutos funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que um número $ a $ divide outro número $ b $. Dizemos que $ a $ divide $ b $ se existe um número inteiro $ k $ tal que:
Isso é representado por $ a \mid b $.
Passo 3
Agora, segundo o enunciado, temos que $ a \mid b $ e $ b \mid a $. Então, existem números inteiros $ k $ e $ m $ tais que:
Passo 4
Substituindo a segunda equação na primeira, temos:
Passo 5
Agora, para que essa igualdade seja verdadeira,
deve ser igual a 1 ou -1, já que estamos trabalhando com números inteiros. Ou seja:
Passo 6
Isso significa que $ k $ e $ m $ são inversos multiplicativos entre si no conjunto dos inteiros, o que só é possível se $ |a| = |b| $. Se $ |a| $ fosse diferente de $ |b| $, não seria possível encontrar $ k $ e $ m $ inteiros que satisfaçam as equações acima.
Passo 7
Portanto, concluímos que se $ a $ divide $ b $ e $ b $ divide $ a $, então necessariamente $ |a| = |b| $. E, inversamente, se $ |a| = |b| $, então $ a $ divide $ b $ e $ b $ divide $ a $.
Resposta
Assim, mostramos que $ a \mid b $ e $ b \mid a $ se, e somente se, $ |a| = |b| $.