Sejam
e
. Assinale a alternativa correta:
A
e
são absolutamente convergentes.
-
condicionalmente e
absolutamente convergentes.
C
e
são condicionalmente convergentes.
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
E
absolutamente e
condicionalmente convergentes.
A
C
D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
E
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício trata de convergência de séries infinitas. A gente tem duas séries, $ S_{1} $ e $ S_{2} $, e precisamos descobrir se elas convergem de forma absoluta ou condicional. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência que nos ajudam a entender como essas séries se comportam.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar $ S_{1} = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln n} $.
Convergência Absoluta:
Para verificar a convergência absoluta, ignoramos o termo alternado ($ (-1)^{n} $) e analisamos a série $ \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{\ln n} $.
Sabemos que $ \ln n $ cresce sem limite quando $ n $ aumenta. Porém, a série $ \sum \frac{1}{\ln n} $ se comporta de forma semelhante à série harmônica $ \sum \frac{1}{n} $, que não converge. Portanto, $ S_{1} $ não converge absolutamente.
Convergência Condicional:
Agora, aplicamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos $ b_n = \frac{1}{\ln n} $ são positivos, decrescentes e tendem a zero, então a série alternada converge.
- Positivos: Sim, $ \frac{1}{\ln n} > 0 $ para $ n \geq 3 $.
- Decrescentes: Sim, conforme $ n $ aumenta, $ \ln n $ aumenta, então $ \frac{1}{\ln n} $ diminui.
- Tendência a zero: Sim, $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln n} = 0 $.
Logo, $ S_{1} $ converge condicionalmente.
Passo 3
Agora, vamos dar uma olhada em $ S_{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1){n}}{n{2} + 4n + 7} $.
Convergência Absoluta:
Ignorando o termo alternado, analisamos $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 4n + 7} $.
Observamos que para $ n $ grande, o denominador $ n^{2} + 4n + 7 $ se comporta como $ n^{2} $, então a série se parece com $ \sum \frac{1}{n^{2}} $, que converge (é uma série p com $ p = 2 > 1 $).
Portanto, $ S_{2} $ converge absolutamente.
Passo 4
Resumindo:
- $ S_{1} $ converge condicionalmente.
- $ S_{2} $ converge absolutamente.
Agora, olhando as alternativas:
- A: Ambos são absolutamente convergentes. ❌
- B: $ S_{1} $ condicional, $ S_{2} $ absoluta. ✔️
- C: Ambos são condicionalmente convergentes. ❌
- D: Nenhuma das outras alternativas está correta. ❌
- E: $ S_{1} $ absoluta, $ S_{2} $ condicional. ❌
Resposta
Alternativa B: $ S_{1} $ condicionalmente e $ S_{2} $ absolutamente convergentes.