Sejam S1=sumn=3^infty (-1)^nln n e S2=sumn=0^infty (-1)^nn^2+4 n+7. Assinale a alternativa correta:
A S1 e S2 são absolutamente convergentes.
  • S1 condicionalmente e S2 absolutamente convergentes.
    C S1 e S2 são condicionalmente convergentes.
    D Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
    E S1 absolutamente e S2 condicionalmente convergentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de convergência de séries infinitas. A gente tem duas séries, $ S_{1} $ e $ S_{2} $, e precisamos descobrir se elas convergem de forma absoluta ou condicional. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência que nos ajudam a entender como essas séries se comportam.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar $ S_{1} = \sum_{n=3}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\ln n} $.
Convergência Absoluta:
Para verificar a convergência absoluta, ignoramos o termo alternado ($ (-1)^{n} $) e analisamos a série $ \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{\ln n} $.
Sabemos que $ \ln n $ cresce sem limite quando $ n $ aumenta. Porém, a série $ \sum \frac{1}{\ln n} $ se comporta de forma semelhante à série harmônica $ \sum \frac{1}{n} $, que não converge. Portanto, $ S_{1} $ não converge absolutamente.
Convergência Condicional:
Agora, aplicamos o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos $ b_n = \frac{1}{\ln n} $ são positivos, decrescentes e tendem a zero, então a série alternada converge.
  • Positivos: Sim, $ \frac{1}{\ln n} > 0 $ para $ n \geq 3 $.
  • Decrescentes: Sim, conforme $ n $ aumenta, $ \ln n $ aumenta, então $ \frac{1}{\ln n} $ diminui.
  • Tendência a zero: Sim, $ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\ln n} = 0 $.
Logo, $ S_{1} $ converge condicionalmente.

Passo 3

Agora, vamos dar uma olhada em $ S_{2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1){n}}{n{2} + 4n + 7} $.
Convergência Absoluta:
Ignorando o termo alternado, analisamos $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^{2} + 4n + 7} $.
Observamos que para $ n $ grande, o denominador $ n^{2} + 4n + 7 $ se comporta como $ n^{2} $, então a série se parece com $ \sum \frac{1}{n^{2}} $, que converge (é uma série p com $ p = 2 > 1 $).
Portanto, $ S_{2} $ converge absolutamente.

Passo 4

Resumindo:
  • $ S_{1} $ converge condicionalmente.
  • $ S_{2} $ converge absolutamente.
Agora, olhando as alternativas:
  • A: Ambos são absolutamente convergentes. ❌
  • B: $ S_{1} $ condicional, $ S_{2} $ absoluta. ✔️
  • C: Ambos são condicionalmente convergentes. ❌
  • D: Nenhuma das outras alternativas está correta. ❌
  • E: $ S_{1} $ absoluta, $ S_{2} $ condicional. ❌

Resposta

Alternativa B: $ S_{1} $ condicionalmente e $ S_{2} $ absolutamente convergentes.

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