Se as funções
e
são contínuas em um intervalo aberto
contendo o ponto
, mostre que o problema de valor inicial
admite uma única solução
, para todo
.
Passo 1
Temos o problema de valor inicial com a equação
e condição
, onde
e
são contínuas em
. Trata-se de uma ODE linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Definimos o fator integrante
como
Por continuidade de
, esse integral existe e
para todo
.
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
e usamos o produto de derivadas:
Logo a ODE fica
Passo 4
Integramos ambos os lados de
a
:
obrigando
Passo 5
Isolando
e lembrando que
, obtemos o candidato a solução:
Passo 6
Para ver unicidade, suponha que existam
e
soluções. A diferença
satisfaz
A única solução dessa homogênea com condicional zero é
, logo
em todo
.