Se as funções p e q são contínuas em um intervalo aberto (alpha, beta) contendo o ponto t0, mostre que o problema de valor inicial
l y^prime+p(t) y=g(t) y(t0)=y0
admite uma única solução y=phi(t), para todo t in(alpha, beta).

Passo 1

Temos o problema de valor inicial com a equação
y' + p(t)y = g(t)
e condição y(t0)=y0, onde p e g são contínuas em (alpha,beta). Trata-se de uma ODE linear de 1ª ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Definimos o fator integrante mu(t) como
mu(t) = expl(integralt0^t p(s),dsr)
Por continuidade de p, esse integral existe e mu(t)>0 para todo t.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(t) e usamos o produto de derivadas:
mu(t)y' + mu(t)p(t)y = ddt[mu(t)y]
Logo a ODE fica
ddt[mu(t)y] = mu(t)g(t)

Passo 4

Integramos ambos os lados de t0 a t:
integralt0^t dds[mu(s)y(s)],ds = integralt0^t mu(s)g(s),ds,
obrigando
mu(t)y(t) - mu(t0)y(t0) = integralt0^t mu(s)g(s),ds

Passo 5

Isolando y(t) e lembrando que mu(t0)=1, obtemos o candidato a solução:
y(t) = 1mu(t)l(y0 + integralt0^t mu(s)g(s),dsr)

Passo 6

Para ver unicidade, suponha que existam y1 e y2 soluções. A diferença z=y1-y2 satisfaz
z'+p(t)z=0, z(t0)=0
A única solução dessa homogênea com condicional zero é zequiv0, logo y1=y2 em todo (alpha,beta).

Resposta

phi(t)=e^-integralt0^t p(s),dsl(y0+integralt0^t e^integralt0^u p(s),ds,g(u),dur)

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