Calcule integral triplaE raizx^2+y^2 d V, onde E é a região limitada pela superfície z=y^2+x^2 e pelo plano z=9.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral triplaE raizx^2+y^2 dV
onde E é a região entre o paraboloide z = x^2+y^2 e o plano z=9.
O conteúdo utilizado será mudança para coordenadas cilíndricas, pois tanto o integrando quanto os limites ficam mais simples nesse sistema de coordenadas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
raizx^2+y^2 = r e o elemento de volume dV = r,dr,dtheta,dz.
A região E em cilíndricas é dada por
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= 3, r^2 <= z <= 9
Logo a integral vira
integral triplaE raizx^2+y^2 dV = integral0^2pi integral0^3 integralr^2^9 r cdot r ,dz,dr,dtheta = integral0^2pi!!integral0^3!!integralr^2^9 r^2,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integralr^2^9 r^2,dz = r^2l[zr]z=r^2^z=9 = r^2,(9 - r^2) = 9r^2-r^4
Assim a integral reduz a
integral0^2pi!!integral0^3 l(9r^2-r^4r),dr,dtheta

Passo 4

Agora integramos em r:
integral0^3 l(9r^2-r^4r),dr = [3r^3-r^55]0^3 = 3cdot27 - 3^55 = 81 - 2435 = 1625
Ficamos com
integral0^2pi 1625,dtheta

Passo 5

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi 1625,dtheta = 1625,l[,theta,r]0^2pi = 1625,(2pi) = 324pi5

Resposta

324pi5

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