Considere a seguinte equação:
y^{\prime}+\operatorname{cotg}(t) y=\frac{\operatorname{sen}\left(t^{2}\right)}{\operatorname{sen}(t)}
Mostre que a função y(t)=\frac{1}{\operatorname{sen}(t)}\left[\int \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t+C\right] é solução de (1).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de primeira ordem
y'(t)+\operatorname{cotg}(t)\,y(t)=\frac{\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)}{\operatorname{sen}(t)}
e pede para mostrar que
y(t)=\frac{1}{\operatorname{sen}(t)}\Bigl[\int \operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt + C\Bigr]
é solução. O conteúdo utilizado será o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t)=\exp\Bigl(\int \operatorname{cotg}(t)\,dt\Bigr).
Sabendo que \int \operatorname{cotg}(t)\,dt=\ln\bigl|\operatorname{sen}(t)\bigr|, segue
\mu(t)=\exp\bigl(\ln|\operatorname{sen}(t)|\bigr)=\operatorname{sen}(t).

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=\operatorname{sen}(t):
\operatorname{sen}(t)\,y'+\operatorname{sen}(t)\,\operatorname{cotg}(t)\,y =\operatorname{sen}(t)\,\frac{\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)}{\operatorname{sen}(t)} \;\Longrightarrow\; \operatorname{sen}(t)\,y'+\cos(t)\,y=\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr).
O lado esquerdo é a derivada do produto \operatorname{sen}(t)\,y, logo
\frac{d}{dt}\bigl[\operatorname{sen}(t)\,y(t)\bigr] =\operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr).

Passo 4

Integramos ambos os lados em t:
\operatorname{sen}(t)\,y(t)=\int \operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt + C.
Isolando y(t) obtemos exatamente
y(t)=\frac{1}{\operatorname{sen}(t)}\Bigl[\int \operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt + C\Bigr].

Passo 5

Para verificar que essa y(t) satisfaz a equação original, basta derivá-la e substituir em \;y'+\operatorname{cotg}(t)\,y. Ao diferenciar a expressão obtém-se
y'=\frac{\operatorname{sen}(t)\,\operatorname{sen}(t^{2})-\bigl[\int\operatorname{sen}(t^{2})\,dt+C\bigr]\cos(t)}{\operatorname{sen}^{2}(t)},
e somando \operatorname{cotg}(t)\,y=\frac{\cos(t)}{\operatorname{sen}(t)}\cdot\frac{\int\operatorname{sen}(t^{2})\,dt+C}{\operatorname{sen}(t)} os termos com \cos(t) cancelam, sobrando
y'+\operatorname{cotg}(t)\,y =\frac{\operatorname{sen}(t^{2})\,\operatorname{sen}(t)}{\operatorname{sen}^{2}(t)} =\frac{\operatorname{sen}(t^{2})}{\operatorname{sen}(t)},
o que coincide com o termo da direita. Portanto, a função dada é solução.

Resposta

y(t)=\frac{1}{\operatorname{sen}(t)}\Bigl[\int \operatorname{sen}\bigl(t^{2}\bigr)\,dt + C\Bigr] é solução da equação
y'+\operatorname{cotg}(t)\,y=\frac{\operatorname{sen}(t^{2})}{\operatorname{sen}(t)}.

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