Sejam
E=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1 \end{array}\right], \quad F=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 4 \\\\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad G=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & -2 & 0 \end{array}\right]
Mostre que (E F) G=E(F G).

Passo 1

O enunciado pede para verificar a associatividade da multiplicação de matrizes para
E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 3 & 1\end{pmatrix},\quad F=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 4 \\\\ 3 & 0 & 1\end{pmatrix},\quad G=\begin{pmatrix}1 & 2 & -1 \\\\ 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & -2 & 0\end{pmatrix}.
Ou seja, queremos mostrar que
(EF)G = E\,(FG).
Para isso, vamos primeiro calcular EF e depois (EF)G; em seguida calcular FG e depois E(FG).

Passo 2

Calcular EF. Como E é 2\times3 e F é 3\times3, EF será 2\times3.
Linha 1 de E vezes colunas de F:
\begin{aligned} (EF)_{11}&=1\cdot2+0\cdot0+2\cdot3=2+6=8,\\\ (EF)_{12}&=1\cdot1+0\cdot(-1)+2\cdot0=1,\\\ (EF)_{13}&=1\cdot0+0\cdot4+2\cdot1=2. \end{aligned}
Linha 2 de E vezes colunas de F:
\begin{aligned} (EF)_{21}&=(-1)\cdot2+3\cdot0+1\cdot3=-2+3=1,\\\ (EF)_{22}&=(-1)\cdot1+3\cdot(-1)+1\cdot0=-1-3=-4,\\\ (EF)_{23}&=(-1)\cdot0+3\cdot4+1\cdot1=12+1=13. \end{aligned}
Logo,
EF = \begin{pmatrix}8 & 1 & 2 \\\\ 1 & -4 & 13\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular (EF)G. Agora (EF) é 2\times3 e G é 3\times3, então o produto é 2\times3.
Para a primeira linha (8,1,2):
\begin{aligned} ((EF)G)_{11}&=8\cdot1+1\cdot0+2\cdot2=8+4=12,\\\ ((EF)G)_{12}&=8\cdot2+1\cdot1+2\cdot(-2)=16+1-4=13,\\\ ((EF)G)_{13}&=8\cdot(-1)+1\cdot1+2\cdot0=-8+1=-7. \end{aligned}
Para a segunda linha (1,-4,13):
\begin{aligned} ((EF)G)_{21}&=1\cdot1+(-4)\cdot0+13\cdot2=1+26=27,\\\ ((EF)G)_{22}&=1\cdot2+(-4)\cdot1+13\cdot(-2)=2-4-26=-28,\\\ ((EF)G)_{23}&=1\cdot(-1)+(-4)\cdot1+13\cdot0=-1-4=-5. \end{aligned}
Portanto
(EF)G = \begin{pmatrix}12 & 13 & -7 \\\\ 27 & -28 & -5\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular FG. Aqui F e G são ambas 3\times3, então FG é 3\times3.
Linha 1 de F (2,1,0) vezes colunas de G:
\bigl(FG\bigr)_{1*}=(2,5,-1).
Linha 2 de F (0,-1,4) vezes colunas de G:
\bigl(FG\bigr)_{2*}=(8,-9,-1).
Linha 3 de F (3,0,1) vezes colunas de G:
\bigl(FG\bigr)_{3*}=(5,4,-3).
Logo
FG = \begin{pmatrix}2 & 5 & -1 \\\\ 8 & -9 & -1 \\\\ 5 & 4 & -3\end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular E(FG). Agora E é 2\times3 e FG é 3\times3, resultando em 2\times3.
Para a primeira linha de E (1,0,2):
\begin{aligned} (E(FG))_{11}&=1\cdot2+0\cdot8+2\cdot5=2+10=12,\\\ (E(FG))_{12}&=1\cdot5+0\cdot(-9)+2\cdot4=5+8=13,\\\ (E(FG))_{13}&=1\cdot(-1)+0\cdot(-1)+2\cdot(-3)=-1-6=-7. \end{aligned}
Para a segunda linha de E (-1,3,1):
\begin{aligned} (E(FG))_{21}&=(-1)\cdot2+3\cdot8+1\cdot5=-2+24+5=27,\\\ (E(FG))_{22}&=(-1)\cdot5+3\cdot(-9)+1\cdot4=-5-27+4=-28,\\\ (E(FG))_{23}&=(-1)\cdot(-1)+3\cdot(-1)+1\cdot(-3)=1-3-3=-5. \end{aligned}
Portanto
E(FG) = \begin{pmatrix}12 & 13 & -7 \\\\ 27 & -28 & -5\end{pmatrix}.

Passo 6

Comparando
(EF)G = \begin{pmatrix}12 & 13 & -7 \\\\ 27 & -28 & -5\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad E(FG)=\begin{pmatrix}12 & 13 & -7 \\\\ 27 & -28 & -5\end{pmatrix},
vemos que os dois produtos coincidem.

Resposta

Como (EF)G e E(FG) são iguais, está verificada a propriedade (EF)G = E(FG).

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