Considere o seguinte experimento: Lançar dois dados e observar as faces voltada para cima. Construa o espaço amostral e enumere os seguintes eventos:
a) A: somas dos pontos menor que 5
b) B: soma dos pontos é par
c) B: uma face é par e a outra ímpar:
d)
e)
f)
g)
h)
a) A: somas dos pontos menor que 5
b) B: soma dos pontos é par
c) B: uma face é par e a outra ímpar:
d)
e)
f)
g)
h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado é: “Lançar dois dados e observar as faces voltadas pra cima. A gente precisa montar o espaço amostral
e depois listar vários eventos (A, B, C), suas interseções, uniões e complementos.”
Conteúdo: teoria de probabilidade básica (espaço amostral, eventos, operações com conjuntos).
O que vamos precisar:
Conteúdo: teoria de probabilidade básica (espaço amostral, eventos, operações com conjuntos).
O que vamos precisar:
- Saber que
; - Entender soma de pontos, paridade, e operações de união (
), interseção ( ) e complemento ( ).
Passo 2
Construindo o espaço amostral
.
Cada resultado é um par ordenado (dado 1, dado 2). Como cada dado tem 6 faces,
Cada resultado é um par ordenado (dado 1, dado 2). Como cada dado tem 6 faces,
No total há
resultados possíveis.
Passo 3
Evento A: “soma dos pontos menor que 5”.
A soma só acontece nos pares:
A soma
- Soma = 2:
- Soma = 3:
- Soma = 4:
Logo
Passo 4
Evento B: “soma dos pontos é par”.
Teoria rápida: soma de dois números é par se ambos são pares ou ambos são ímpares.
Teoria rápida: soma de dois números é par se ambos são pares ou ambos são ímpares.
- Números ímpares no dado:
→ gera pares (ímpar,ímpar). - Números pares no dado:
→ gera pares (par,par).
Total deelementos.
(Se quiser listar, são todos os (ímpar,ímpar) e (par,par).)
Passo 5
Evento C: “uma face é par e a outra ímpar”.
Isso é o complemento de “soma par” dentro de , mas de forma intuitiva:
Isso é o complemento de “soma par” dentro de
- Par no primeiro, ímpar no segundo:
- Ímpar no primeiro, par no segundo:
Total.
Passo 6
Evento
: “soma menor que 5 e soma par”.
Olha os de A e pega só os de soma par (2 ou 4):
Olha os de A e pega só os de soma par (2 ou 4):
- Soma 2:
- Soma 4:
Passo 7
Evento
: “soma menor que 5 ou soma par”.
Usamos .
Em princípio são 20 pares, mas a gente já sabe de contagem que é essa a quantidade.
Usamos
Em princípio são 20 pares, mas a gente já sabe de contagem que é essa a quantidade.
Passo 8
Evento
: “complemento de A”, ou seja, todos os pares de
que não têm soma menor que 5.
Como e
,
Como
Passo 9
Evento
: “complemento de B”, isto é, soma ímpar.
Como e
,
Como
Passo 10
Evento
: “soma menor que 5 e uma face par, outra ímpar”.
Olha A: e escolhe só os que têm par+ímpar:
Olha A:
-
são os únicos.
Resposta
a)
b) ,
c) ,
d)
e) tem
resultados
f) tem
resultados
g) tem
resultados
h)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)