Considere a curva C obtida como interseção das seguintes superficies:
e
. Pederse:
(a) encontrar uma parametrização da curva
.
(a) encontrar uma parametrização da curva
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas superfícies: uma esfera definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 $ e um plano dado por $ z = y $. Nosso objetivo é encontrar uma parametrização para a curva $ C $ que resulta da interseção dessas duas superfícies. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica e parametrização de curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Como a curva $ C $ está na interseção das duas superfícies, qualquer ponto $ (x, y, z) $ em $ C $ deve satisfazer ambas as equações simultaneamente. Então, podemos usar a equação do plano $ z = y $ para substituir uma variável na equação da esfera.
Passo 3
Substituindo $ z $ por $ y $ na equação da esfera, temos:
Simplificando:
Agora, temos uma equação que relaciona $ x $ e $ y $.
Passo 4
Para parametrizar essa equação, vamos expressar $ x $ e $ y $ em termos de um parâmetro, digamos $ t $. Uma abordagem comum é usar funções trigonométricas, já que elas naturalmente satisfazem equações envolvendo quadrados.
Passo 5
Proponhamos a seguinte parametrização:
Essa escolha garante que $ x^{2} + 2y^{2} = \cos^{2} t + 2 \left( \dfrac{\sin t}{\sqrt{2}} \right)^{2} = \cos^{2} t + \sin^{2} t = 1 $, satisfazendo a equação obtida no passo anterior.
Passo 6
Lembrando que no plano temos $ z = y $, então podemos expressar $ z $ também em termos de $ t $:
Resposta
Portanto, uma parametrização para a curva $ C $ é: