Escreva a(s) integral(is) dupla(s) que permite(m) calcular a área da menor região delimitada pelas curvas
e
, usando:
(b)
como variável independente;
(b)
Passo 1
O enunciado pede a área da menor região fechada pelas curvas
e
, usando integrais duplas em que a variável de integração exterior seja
. Vamos precisar achar primeiro os pontos de interseção para depois descrever a região em função de
.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, substituímos
em
, obtendo
. Seja
, então
tem raízes
ou
. Como
, ficamos com
, logo
e
. Os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
A região fica “entre” o ramo superior do círculo e o ramo da parábola, formando um lente cuja ordenada mínima é no vértice da parábola
e a ordenada máxima no ponto mais alto do arco de círculo,
. Para um dado
, as abscissas que pertencem à região são determinadas pelo limite mais interno entre parabola e círculo. Isso nos obriga a dividir em dois trechos em
: de 0 a 4, a parábola é mais interna, então
; de 4 a
, o círculo é mais interno, então
.
Passo 4
Escrevendo a integral dupla em duas partes, com integração interna em
e externa em
, temos:
Essa soma de integrais dá a área da região pedida.