Escreva a(s) integral(is) dupla(s) que permite(m) calcular a área da menor região delimitada pelas curvas x^2+y^2=20 e y=x^2, usando:
(b) y como variável independente;

Passo 1

O enunciado pede a área da menor região fechada pelas curvas x^2+y^2=20 e y=x^2, usando integrais duplas em que a variável de integração exterior seja y. Vamos precisar achar primeiro os pontos de interseção para depois descrever a região em função de y.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, substituímos y=x^2 em x^2+y^2=20, obtendo x^2+(x^2)^2=20. Seja t=x^2, então t^2+t-20=0 tem raízes t=4 ou t=-5. Como t=x^2>=0, ficamos com x^2=4, logo x=pm2 e y=x^2=4. Os pontos de interseção são (-2,4) e (2,4).

Passo 3

A região fica “entre” o ramo superior do círculo e o ramo da parábola, formando um lente cuja ordenada mínima é no vértice da parábola (0,0) e a ordenada máxima no ponto mais alto do arco de círculo, y=raiz20=2raiz5. Para um dado y, as abscissas que pertencem à região são determinadas pelo limite mais interno entre parabola e círculo. Isso nos obriga a dividir em dois trechos em y: de 0 a 4, a parábola é mais interna, então xin[-raiz y,raiz y]; de 4 a 2raiz5, o círculo é mais interno, então xin[-raiz20-y^2,raiz20-y^2].

Passo 4

Escrevendo a integral dupla em duas partes, com integração interna em x e externa em y, temos:

Essa soma de integrais dá a área da região pedida.

Resposta

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