Considere a seguinte expressão:
$$
I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \int_{y}{\sqrt{1-y{2}}} \frac{2 x+4 y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} d x d y$.
(b) Transforme a expressão dada para coordenadas polares.
I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \int_{y}{\sqrt{1-y{2}}} \frac{2 x+4 y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} d x d y$.
(b) Transforme a expressão dada para coordenadas polares.
Passo 1
Beleza, temos que transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. A expressão original é:
Vamos precisar entender como converter integrais para coordenadas polares, o que envolve mudar as variáveis
e
para
e
, além de ajustar os limites de integração e incluir o fator jacobiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
- $ x = r \cos\theta $
- $ y = r \sin\theta $
Também, o elemento de área
em polares vira
devido ao jacobiano da transformação.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a função dentro da integral em termos de
e
:
Passo 4
Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Observando os limites originais:
- $ y $ vai de $ 0 $ a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
- Para cada $ y $, $ x $ vai de $ y $ a $ \sqrt{1 - y^{2}} $
Isso descreve uma região no primeiro quadrante. Em polares, $ r $ vai de $ 0 $ a $ 1 $ (já que $ \sqrt{1 - y^{2}} $ está na circunferência de raio 1) e $ \theta $ vai de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $ (porque a linha $ x = y $ corresponde a $ \theta = 45^\circ $).
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original:
Passo 6
Simplificamos a expressão:
Resposta
A expressão transformada em coordenadas polares é: