Considere a seguinte expressão:
$$
I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \int_{y}{\sqrt{1-y{2}}} \frac{2 x+4 y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} d x d y$.
(b) Transforme a expressão dada para coordenadas polares.

Passo 1

Beleza, temos que transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. A expressão original é:
I=integral0^raiz22 integraly^raiz1-y^2 2 x+4 yraizx^2+y^2 d x d y
Vamos precisar entender como converter integrais para coordenadas polares, o que envolve mudar as variáveis x e y para r e theta, além de ajustar os limites de integração e incluir o fator jacobiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
  • $ x = r \cos\theta $
  • $ y = r \sin\theta $
Também, o elemento de área x = r costheta em polares vira y = r sintheta devido ao jacobiano da transformação.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a função dentro da integral em termos de r e theta:
2x + 4yraizx^2 + y^2 = 2(rcostheta) + 4(rsintheta)r = 2costheta + 4sintheta

Passo 4

Precisamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares. Observando os limites originais:
  • $ y $ vai de $ 0 $ a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $
  • Para cada $ y $, $ x $ vai de $ y $ a $ \sqrt{1 - y^{2}} $
Isso descreve uma região no primeiro quadrante. Em polares, $ r $ vai de $ 0 $ a $ 1 $ (já que $ \sqrt{1 - y^{2}} $ está na circunferência de raio 1) e $ \theta $ vai de $ 0 $ a $ \frac{\pi}{4} $ (porque a linha $ x = y $ corresponde a $ \theta = 45^\circ $).

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
I = integral0^pi4 integral0^1 (2costheta + 4sintheta) cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Simplificamos a expressão:
I = integral0^pi4 integral0^1 (2rcostheta + 4rsintheta) dr , dtheta

Resposta

A expressão transformada em coordenadas polares é:
I = integral0^pi4 integral0^1 (2rcostheta + 4rsintheta) dr , dtheta

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