Calcular o limite e analisar a continuidade da função vetorial dada, no ponto indicado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função vetorial no ponto $ t = 1 $ e verificar se a função é contínua nesse ponto. Estamos trabalhando com cálculo de limites e análise de continuidade de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções vetoriais e o que significa continuidade para elas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de 1. Lembre-se que uma função vetorial tem componentes separadas, então vamos calcular o limite de cada componente individualmente.
A função $ f(t) $ é dada por:
Vamos calcular cada limite:
- Componente $ \vec{i} $:
Aqui usamos a propriedade de que a função exponencial é contínua, então o limite é simplesmente a função avaliada em 1.
- Componente $ \vec{j} $:
Percebemos que o numerador pode ser fatorado:
Então:
Agora, calculamos o limite:
- Componente $ \vec{k} $:
Aqui, usamos a continuidade da função logaritmo.
Passo 3
Agora que temos o limite de cada componente, vamos juntar os resultados para obter o limite total da função vetorial:
Ou seja, em forma de coordenadas:
Passo 4
Para analisar a continuidade da função $ f(t) $ no ponto $ t = 1 $, precisamos verificar se o limite que acabamos de calcular é igual ao valor da função nesse ponto.
Sabemos que:
E:
Como os dois são iguais, a função $ f(t) $ é contínua no ponto $ t = 1 $.
Resposta
O limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de 1 é $ (e, 2, \ln 2) $ e a função $ f(t) $ é contínua no ponto $ t = 1 $.