Calcular o limite e analisar a continuidade da função vetorial dada, no ponto indicado:
f(t)= e^t i+t^2-1t-1 j+ln (t^2+1) k, se t neq 1 (e, 2, ln 2) se t=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função vetorial no ponto $ t = 1 $ e verificar se a função é contínua nesse ponto. Estamos trabalhando com cálculo de limites e análise de continuidade de funções vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites de funções vetoriais e o que significa continuidade para elas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de 1. Lembre-se que uma função vetorial tem componentes separadas, então vamos calcular o limite de cada componente individualmente.
A função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
Vamos calcular cada limite:
  1. Componente $ \vec{i} $:
t
Aqui usamos a propriedade de que a função exponencial é contínua, então o limite é simplesmente a função avaliada em 1.
  1. Componente $ \vec{j} $:
f(t)
Percebemos que o numerador pode ser fatorado:
f(t) = e^t i + t^2 - 1t - 1 j + ln(t^2 + 1) k, & se t neq 1 (e, 2, ln 2), & se t = 1
Então:
i
Agora, calculamos o limite:
limt to 1 e^t = e^1 = e
  1. Componente $ \vec{k} $:
j
Aqui, usamos a continuidade da função logaritmo.

Passo 3

Agora que temos o limite de cada componente, vamos juntar os resultados para obter o limite total da função vetorial:
limt to 1 f(t) = e i + 2 j + ln 2 k
Ou seja, em forma de coordenadas:
limt to 1 f(t) = (e, 2, ln 2)

Passo 4

Para analisar a continuidade da função $ f(t) $ no ponto $ t = 1 $, precisamos verificar se o limite que acabamos de calcular é igual ao valor da função nesse ponto.
Sabemos que:
f(t)
E:
t = 1
Como os dois são iguais, a função $ f(t) $ é contínua no ponto $ t = 1 $.

Resposta

O limite de $ f(t) $ quando $ t $ se aproxima de 1 é $ (e, 2, \ln 2) $ e a função $ f(t) $ é contínua no ponto $ t = 1 $.

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