Considere a seguinte expressão:
I=integral0^1 integral0^x^2 x cos ((1-y)^2) d y d x+integral1^raiz2 integral0^2-x^2 x cos ((1-y)^2) d y d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
I=integral0^1integral0^x^2xcosl((1-y)^2r),dy,dx + integral1^raiz2integral0^2-x^2xcosl((1-y)^2r),dy,dx
O conteúdo principal envolve troca de ordem de integração em integrais duplas e substituições de variável para resolver a integral resultante.

Passo 2

Vamos interpretar geometricamente a região de integração no plano (x,y). Para 0<= x<=1, temos 0<= y<= x^2; para 1<= x<=raiz2, temos 0<= y<=2-x^2. O gráfico de y=x^2 de x=0 a 1 e de y=2-x^2 de 1 a raiz2 forma a fronteira superior da região.

Passo 3

Agora invertemos a ordem de integração. A projeção sobre o eixo y vai de y=0 até y=1. Para um y fixo em [0,1], x varia de raizy (onde y=x^2) até raiz2-y (onde y=2-x^2). Assim:
I=integral0^1integralraizy^raiz2-yxcosl((1-y)^2r),dx,dy
Como cos((1-y)^2) independe de x, essa parte sai da integral em x.

Passo 4

Calculamos a integral em x:
integralraizy^raiz2-yx,dx=[tfrac12x^2]raizy^raiz2-y=tfrac12l((2-y)-yr)=tfrac12(2-2y)=1-y
Logo:
I=integral0^1(1-y)cosl((1-y)^2r),dy

Passo 5

Fazemos a substituição t=1-y. Então dy=-dt e, quando y vai de 0 a 1, t vai de 1 a 0. Assim:
I=integral1^0tcos(t^2)(-dt)=integral0^1tcos(t^2),dt

Passo 6

Por fim, aplicamos u=t^2implies du=2t,dt, então t,dt=du/2. A integral vira:
I=integral0^112cos(u),du=12l[sin(u)r]0^1=sin(1)2

Resposta

sin(1)2

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