Considere a seguinte expressão:
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular
O conteúdo principal envolve troca de ordem de integração em integrais duplas e substituições de variável para resolver a integral resultante.
Passo 2
Vamos interpretar geometricamente a região de integração no plano
. Para
, temos
; para
, temos
. O gráfico de
de
a
e de
de
a
forma a fronteira superior da região.
Passo 3
Agora invertemos a ordem de integração. A projeção sobre o eixo
vai de
até
. Para um
fixo em
,
varia de
(onde
) até
(onde
). Assim:
Como
Passo 4
Calculamos a integral em
:
Logo:
Passo 5
Fazemos a substituição
. Então
e, quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim:
Passo 6
Por fim, aplicamos
, então
. A integral vira: