Considere a seguinte expressão:
I=integral0^1 integral0^1-raiz1-y^2 raizx^2+y^2x^2+y^2 d x d y+integral1^2 integral0^raiz2 y-y^2 raizx^2+y^2x^2+y^2 d x d y
(b) Transforme esta expressão para coordenadas polares.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever em coordenadas polares a soma de dois integrais duplos sobre as regiões dadas, com integrando dfracraizx^2+y^2x^2+y^2. Vamos usar as fórmulas de mudança de coordenadas polares e identificar cuidadosamente as regiões.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e dx,dy = r,dr,dtheta. Além disso o integrando fica
raizx^2+y^2x^2+y^2 = rr^2 = 1r,
então
raizx^2+y^2x^2+y^2,dx,dy = 1r,(r,dr,dtheta) = dr,dtheta

Passo 3

A primeira região é dada por
0<= y<=1, 0<= x<= 1-raiz1-y^2
A curva x=1-raiz1-y^2 satisfaz
1-raiz1-y^2=x implies (x-1)^2+y^2=1
que em polares é
(x-1)^2+y^2=1 implies r^2-2rcostheta+1=1 implies r=2costheta
Como y=rsintheta<=1 e estamos no 1º quadrante, isso só vale para 0<=theta<=pi/4. Logo nessa parte
0<=theta<=pi4, 0<= r<= 2costheta

Passo 4

A segunda região é
1<= y<=2, 0<= x<= raiz2y-y^2
A curva x=raiz2y-y^2 satisfaz
x^2+(y-1)^2=1
que em polares vira
r^2-2rsintheta+1=1 implies r=2sintheta
Como y=rsintheta>=1 e x>=0 no 1º quadrante, isso vale para pi/4<=theta<=pi/2 e para cada theta nesse intervalo temos o limite inferior
r=1/sintheta (vindo de rsintheta=1) e o superior r=2sintheta.

Passo 5

Juntando tudo, o integral se torna
I = integral0^pi/4integral0^2costheta dr,dtheta ;+ integralpi/4^pi/2integral1/sintheta^2sintheta dr,dtheta

Resposta

I = integral0^pi/4integral0^2costheta dr,dtheta , + , integralpi/4^pi/2integral1/sintheta^2sintheta dr,dtheta

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