Seja f: A subset R^2 R uma função dada por:
f(x, y)=x sen(xy)
Verifique que: x partial fpartial x(x, y)+y partial fpartial y(x, y)=f(x, y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função f(x,y)=x sen(x/y) satisfaz a relação x ∂f/∂x + y ∂f/∂y = f(x,y). Esse tipo de verificação usa derivadas parciais e, na teoria, lembra a fórmula de Euler para funções homogêneas de grau 1.

Passo 2

Vamos calcular ∂f/∂x usando regra do produto e cadeia. Definindo u = x/y, temos f(x,y) = x sen(u). Então
partial fpartial x = sinl(xyr) + xcosl(xyr)cdotpartialpartial xl(xyr)
Como ∂(x/y)/∂x = 1/y, fica
partial fpartial x = sinl(tfracxyr) + xycosl(tfracxyr)

Passo 3

Agora calculamos ∂f/∂y. Aqui x é constante e usamos a cadeia em u = x/y:
partial fpartial y = xcosl(tfracxyr)cdotpartialpartial yl(xyr)
Como ∂(x/y)/∂y = -x/y², temos
partial fpartial y = xcosl(tfracxyr)cdotl(-xy^2r)= -x^2y^2cosl(tfracxyr)

Passo 4

Finalmente, montamos x ∂f/∂x + y ∂f/∂y:
xpartial fpartial x = xsinl(tfracxyr) + x^2ycosl(tfracxyr),
ypartial fpartial y = yl(-x^2y^2cosl(tfracxyr)r) = -x^2ycosl(tfracxyr)

Passo 5

Somando, os termos com cos cancelam e sobra x sen(x/y), que é exatamente f(x,y).

Resposta

x ∂f/∂x + y ∂f/∂y = x sen(x/y) = f(x,y).

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