Seja f:
uma função dada por:
Verifique que:
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função f(x,y)=x sen(x/y) satisfaz a relação x ∂f/∂x + y ∂f/∂y = f(x,y). Esse tipo de verificação usa derivadas parciais e, na teoria, lembra a fórmula de Euler para funções homogêneas de grau 1.
Passo 2
Vamos calcular ∂f/∂x usando regra do produto e cadeia. Definindo u = x/y, temos f(x,y) = x sen(u). Então
Como ∂(x/y)/∂x = 1/y, fica
Passo 3
Agora calculamos ∂f/∂y. Aqui x é constante e usamos a cadeia em u = x/y:
Como ∂(x/y)/∂y = -x/y², temos
Passo 4
Finalmente, montamos x ∂f/∂x + y ∂f/∂y:
Passo 5
Somando, os termos com cos cancelam e sobra x sen(x/y), que é exatamente f(x,y).
Resposta
x ∂f/∂x + y ∂f/∂y = x sen(x/y) = f(x,y).