Considere a seguinte expressão:
I-integral0^1 integral0^x^2 x cos ((1-y)^2) d y d x+integral1^raiz2 integral0^2-x^2 x cos ((1-y)^2) d y d x
(b) Calcule o valor numérico de I, adotando a melhor expressão para isso.

Passo 1

A questão pede o valor numérico de I, onde I aparece como combinação de dois integrais duplos do tipo xcosl((1-y)^2r). O tema é integração dupla e troca de ordem de integração.

Passo 2

Repare que os dois integrais estão sobre a mesma função e regiões que, juntas, formam uma região D no plano xy. Podemos juntar em um só integral:
I=integral0^1integral0^x^2xcosl((1-y)^2r),dy,dx;+ integral1^raiz2integral0^2-x^2xcosl((1-y)^2r),dy,dx

Passo 3

Descrevemos D identificando que, para todo y entre 0 e 1, o x varia de raizy até raiz2-y. Logo
$$I=\int_{y=0}{1}\int_{x=\sqrt{y}}{\sqrt{2-y}}x\cos\bigl((1-y)^{2}\bigr),dx,dy.
$$

Passo 4

Integrando primeiro em x:
$$\int_{\sqrt{y}}{\sqrt{2-y}}x,dx=\left.\frac{x{2}}{2}\right|_{y}^{2-y}=\frac{(2-y)-y}{2}=1-y.
$$

Passo 5

Então
$$I=\int_{0}{1}(1-y)\cos\bigl((1-y){2}\bigr),dy.
$$

Passo 6

Fazendo a substituição t=(1-y)^2, temos dt=-2(1-y),dy, ou (1-y),dy=-tfrac12dt, e os limites vão de t(0)=1 até t(1)=0. Assim
$$I=\int_{t=1}^{0}\cos t\left(-\frac{dt}{2}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos t,dt=\frac{1}{2}\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{1}=\frac{\sin(1)}{2}.
$$

Resposta

I=sin(1)2approx0.421

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