Considere a seguinte expressão:
(b) Calcule o valor numérico de
, adotando a melhor expressão para isso.
Passo 1
A questão pede o valor numérico de I, onde I aparece como combinação de dois integrais duplos do tipo
. O tema é integração dupla e troca de ordem de integração.
Passo 2
Repare que os dois integrais estão sobre a mesma função e regiões que, juntas, formam uma região D no plano
. Podemos juntar em um só integral:
Passo 3
Descrevemos D identificando que, para todo
entre 0 e 1, o
varia de
até
. Logo
$$I=\int_{y=0}{1}\int_{x=\sqrt{y}}{\sqrt{2-y}}x\cos\bigl((1-y)^{2}\bigr),dx,dy.
$$
Passo 4
Integrando primeiro em
:
$$\int_{\sqrt{y}}{\sqrt{2-y}}x,dx=\left.\frac{x{2}}{2}\right|_{y}^{2-y}=\frac{(2-y)-y}{2}=1-y.
$$
Passo 5
Então
$$I=\int_{0}{1}(1-y)\cos\bigl((1-y){2}\bigr),dy.
$$
Passo 6
Fazendo a substituição
, temos
, ou
, e os limites vão de
até
. Assim
$$I=\int_{t=1}^{0}\cos t\left(-\frac{dt}{2}\right)=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\cos t,dt=\frac{1}{2}\bigl[\sin t\bigr]_{0}^{1}=\frac{\sin(1)}{2}.
$$