Encontre a solução geral das EDOs homogêneas, que são de coeficientes constantes e também do tipo Euler-Cauchy:
y^prime prime-y^prime-6 y=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO homogênea de coeficientes constantes
y'' - y' - 6y = 0. Esse é um caso clássico que a gente resolve montando a equação característica.

Passo 2

Para montar a equação característica, substituímos y = e^rx na EDO. Isso dá
r^2 e^rx - r e^rx - 6 e^rx = 0
Como e^rx neq 0, simplificamos e obtemos a equação característica
r^2 - r - 6 = 0

Passo 3

Agora resolvemos r^2 - r - 6 = 0 usando a fórmula de Bhaskara. Temos:
r = 1 pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-6)2 cdot 1 = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Assim os dois raízes são r1 = 3 e r2 = -2.

Passo 4

Como as raízes r1 e r2 são reais e distintas, a solução geral da EDO é combinação linear das exponenciais correspondentes. Assim:
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x

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