Considere a seguinte expressão:
I=integral0^1 integral0^1-raiz1-y^2 raizx^2+y^2x^2+y^2 d x d y+integral1^2 integral0^raiz2 y-y^2 raizx^2+y^2x^2+y^2 d x d y
(a) Reescreva esta expressão, invertendo a sua ordem de integração.

Passo 1

A integral dada é a soma de duas integrais duplas sobre regiões em D no primeiro quadrante, com integrando f(x,y)=raizx^2+y^2x^2+y^2. A primeira parte corresponde a 0<= y<=1 e 0<= x<=1-raiz1-y^2, que é a região sob o arco da circunferência de centro (1,0) e raio 1. A segunda parte corresponde a 1<= y<=2 e 0<= x<=raiz2y-y^2, que é a região sob o arco da circunferência de centro (0,1) e raio 1. Para inverter a ordem, vamos projetar D no eixo x.

Passo 2

O menor valor de x na região D é 0 (eixo y) e o maior é 1 (interseção dos dois arcos). Logo, na integral invertida teremos 0<= x<=1.

Passo 3

Para cada x fixo em [0,1], a parte inferior de D é dada pelo arco da primeira circunferência, obtido de
(x-1)^2+y^2=1 Longrightarrow y=raiz2x - x^2,
e a parte superior de D é dada pelo arco da segunda circunferência, obtido de
x^2+(y-1)^2=1 Longrightarrow y=1+raiz1 - x^2

Passo 4

Portanto, invertendo a ordem de integração,
I = integralx=0^1 integraly=raiz2x - x^2^1+raiz1 - x^2 raizx^2+y^2x^2+y^2 ,dy,dx

Resposta

I = integral0^1 integralraiz2x - x^2^1+raiz1 - x^2 raizx^2+y^2x^2+y^2 ,dy,dx

Exercícios relacionados