Escreva as integrais duplas que permitem calcular a área da região
delimitada simultaneamente pelas curvas dadas abaixo, tomando inicialmente
como variável independente e após tomando
como variável independente.
(b)
e
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para escrever duas formas de integral dupla para calcular a área da região R limitada pelas retas
,
,
e
. Vamos usar interseções de retas, fatias verticais (ordem
) e fatias horizontais (ordem
).
Passo 2
Primeiro determinamos os vértices de R calculando as interseções das retas adjacentes:
-
∩ → -
∩ → -
∩ → -
∩ →
Passo 3
Para fatias verticais (
) vemos que em
a parte inferior é
e superior é
; em
inferior é
e superior é
; em
inferior é
e superior é
.
Assim a integral na ordem se escreve somando três termos: cada um com seus limites de
e, para cada
,
indo da curva inferior à superior.
Assim a integral na ordem
Passo 4
Para fatias horizontais (
) notamos que o menor
em R é
e o maior é
. Em
as fronteiras esquerda e direita vêm de
(
) e de
(
). Em
elas vêm de
(
) e de
(
).
Logo a integral na ordem se separa em dois termos, um para
e outro para
, com seus limites de
correspondentes.
Logo a integral na ordem
Resposta
Para fatias verticais (ordem
):
Para fatias horizontais (ordem
):