Escreva as integrais duplas que permitem calcular a área da região R delimitada simultaneamente pelas curvas dadas abaixo, tomando inicialmente x como variável independente e após tomando y como variável independente.
(b) y=4 x3+83, y=-2-x, y=x2-2 e y=163-4 x3.

Passo 1

O enunciado pede para escrever duas formas de integral dupla para calcular a área da região R limitada pelas retas
y=tfrac4x3+tfrac83, y=-2-x, y=tfracx2-2 e y=tfrac163-tfrac4x3. Vamos usar interseções de retas, fatias verticais (ordem dy,dx) e fatias horizontais (ordem dx,dy).

Passo 2

Primeiro determinamos os vértices de R calculando as interseções das retas adjacentes:
  • y=tfrac4x3+tfrac83 y=-x-2 (-2,0)
  • y=tfrac4x3+tfrac83 y=tfrac163-tfrac4x3 (1,4)
  • y=tfrac163-tfrac4x3 y=tfracx2-2 (4,0)
  • y=tfracx2-2 y=-x-2 (0,-2)

Passo 3

Para fatias verticais ( dy,dx) vemos que em xin[-2,0] a parte inferior é y=-x-2 e superior é y=tfrac4x3+tfrac83; em xin[0,1] inferior é y=tfracx2-2 e superior é y=tfrac4x3+tfrac83; em xin[1,4] inferior é y=tfracx2-2 e superior é y=tfrac163-tfrac4x3.
Assim a integral na ordem dy,dx se escreve somando três termos: cada um com seus limites de x e, para cada x, y indo da curva inferior à superior.

Passo 4

Para fatias horizontais ( dx,dy) notamos que o menor y em R é -2 e o maior é 4. Em yin[-2,0] as fronteiras esquerda e direita vêm de y=-x-2 ( x=-y-2) e de y=tfracx2-2 ( x=2y+4). Em yin[0,4] elas vêm de y=tfrac4x3+tfrac83 ( x=tfrac3y4-2) e de y=tfrac163-tfrac4x3 ( x=4-tfrac3y4).
Logo a integral na ordem dx,dy se separa em dois termos, um para yin[-2,0] e outro para yin[0,4], com seus limites de x correspondentes.

Resposta

Para fatias verticais (ordem dy,dx):
A=integralx=-2^0integraly=-x-2^tfrac4x3+tfrac83dy,dx +integralx=0^1integraly=tfracx2-2^tfrac4x3+tfrac83dy,dx +integralx=1^4integraly=tfracx2-2^tfrac163-tfrac4x3dy,dx
Para fatias horizontais (ordem dx,dy):
A=integraly=-2^0integralx=-y-2^2y+4dx,dy +integraly=0^4integralx=tfrac3y4-2^4-tfrac3y4dx,dy

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