Considere a seguinte f.d.p.:
& f(x)=k x, 0 <= x<2 & f(x)=k(4-x), 2 <= x <= 4 & f(x)=0, c c
a) encontre o valor de k para que f(x) seja, de fato, uma f.d.p.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que a gente precisa.
Enunciado (resumido): temos uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.) dada por
f(x)= k,x, & 0<= x<2, k,(4-x), & 2<= x<=4, 0, & cc
E querem saber qual deve ser o valor de para isso realmente ser uma f.d.p.
Conteúdo: teoria de variáveis contínuas – propriedade fundamental de uma f.d.p.: a área (integral) sobre todo o eixo real deve dar 1.
O que precisamos: saber integrar funções polinomiais e aplicar
.

Passo 2

Para qualquer f.d.p. válida vale
integral-infty^inftyf(x),dx=1
Como aqui integral0^2 kx,dx ;+;integral2^4 k(4-x),dx ;=;1 fora de , basta integrar em e em e somar:

Passo 3

Calcular a primeira integral:
integral0^2 kx,dx = kintegral0^2 x,dx = kl[x^22r]0^2 = kcdot2^22 = kcdot2 = 2k

Passo 4

Calcular a segunda integral:
integral2^4 k(4-x),dx = kintegral2^4 (4-x),dx = kl[4x-x^22r]2^4
Agora o valor em 4 menos o valor em 2:
4cdot4-4^22=16-8=8, 4cdot2-2^22=8-2=6,
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kl(8-6r)=2k

Passo 5

Somando as duas partes:
2k + 2k =1 longrightarrow 4k=1 longrightarrow k=14

Resposta

.

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