Considere a v.a. bidimensional com a seguinte distribuição de probabilidade:
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0 | 1 |
---|---|---|
0 |
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1 |
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2 |
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Determine:
Passo 1
Beleza, mó tranquilão: a gente tem uma variável aleatória bidimensional $(X,Y)$ com aquela tabela de probabilidades e precisa achar o coeficiente de correlação
Conteúdo: expectativa, covariância, variância e fórmula da correlação
O que vamos precisar:
- Marginais de $X$ e $Y$
- $E[X]$, $E[Y]$ e $E[XY]$
- Definição de $\mathrm{Cov}(X,Y)$ e de $\mathrm{Var}(X)$, $\mathrm{Var}(Y)$
- Fórmula da correlação
A partir do próximo passo, partiu fazer as contas mesmo.
Passo 2
Primeiro a gente extrai as marginais pra calcular expectativa.
Marginal de $X$:
Marginal de $X$:
Marginal de $Y$:
Agora expectativa:
Passo 3
Calcular $E[XY]$ pra achar a covariância.
Só os pares com $x=1$ e $y\neq0$ dão contribuição:
Então
Passo 4
Agora as variâncias
Como $X$ só vale 0 ou 1,
logo
Para $Y$:
Passo 5
Bora finalmente pro coeficiente de correlação: