Considere a v.a. bidimensional com a seguinte distribuição de probabilidade:
Y backslash X 0 1
0 1 / 8 1 / 8
1 2 / 8 1 / 8
2 2 / 8 1 / 8
Determine:
COEF CORR(X, Y)

Passo 1

Beleza, mó tranquilão: a gente tem uma variável aleatória bidimensional $(X,Y)$ com aquela tabela de probabilidades e precisa achar o coeficiente de correlação
Conteúdo: expectativa, covariância, variância e fórmula da correlação
O que vamos precisar:
  1. Marginais de $X$ e $Y$
  2. $E[X]$, $E[Y]$ e $E[XY]$
  3. Definição de $\mathrm{Cov}(X,Y)$ e de $\mathrm{Var}(X)$, $\mathrm{Var}(Y)$
  4. Fórmula da correlação
    A partir do próximo passo, partiu fazer as contas mesmo.

Passo 2

Primeiro a gente extrai as marginais pra calcular expectativa.
Marginal de $X$:
X
Marginal de $Y$:
P(X=0)=tfrac18+tfrac28+tfrac28=tfrac58, P(X=1)=tfrac18+tfrac18+tfrac18=tfrac38
Agora expectativa:
Y

Passo 3

Calcular $E[XY]$ pra achar a covariância.
E[XY]
Só os pares com $x=1$ e $y\neq0$ dão contribuição:
E[XY] = sumx,y x,y,P(X=x,Y=y)
Então
x=1

Passo 4

Agora as variâncias
Var(X) = E[X^2] - l(E[X]r)^2, Var(Y) = E[Y^2] - l(E[Y]r)^2
Como $X$ só vale 0 ou 1,
X
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E[X^2] = 0^2cdottfrac58 + 1^2cdottfrac38 = tfrac38,
Para $Y$:
Var(X) = tfrac38 - l(tfrac38r)^2 = tfrac38 - tfrac964 = tfrac1564
Y

Passo 5

Bora finalmente pro coeficiente de correlação:
rhoXY = Cov(X,Y)raizVar(X),Var(Y) = -tfrac364raiztfrac1564,tfrac3964 = -3/64raiz585/64 = -3raiz585 = -1raiz65

Resposta

boxedCOEFCORR(X,Y) = -1raiz65approx -0,124

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