Considere a seguinte f.d.p.:
& f(x)=k x, 0 <= x<2 & f(x)=k(4-x), 2 <= x <= 4 & f(x)=0, c c
b) calcule a média e a variância de X

Passo 1

Tranquilo, vamos entender o que o enunciado pede. A gente tem uma f.d.p. (função densidade de probabilidade) de uma variável contínua f(x)= k,x, & 0<= x<2, k,(4-x), & 2<= x<=4, 0, & caso contrário definida em dois pedaços:
á
O item (b) quer a média e a variância .
Para isso a gente precisa de:
  1. Achar o valor de usando .
  2. Saber que

    e
    .

Passo 2

Primeiro, normalizar a f.d.p. (ou seja, achar 1 ;=;integral0^2 kx,dx ;+;integral2^4 k(4-x),dx ).
1 = k,(2+2) = 4k Longrightarrow k = tfrac14
Calcule cada integral:
,
.
Logo

Passo 3

Agora calcula a média
E[X] =integral0^2 x,(k x),dx ;+;integral2^4 xl(k(4-x)r),dx
Com E[X]=tfrac23 + tfrac43 = 2 :
1º integral: , vira .
2º integral: , vira .
Somando:

Passo 4

Para a variância precisamos de E[X^2] =integral0^2 x^2,(k x),dx ;+;integral2^4 x^2l(k(4-x)r),dx :
E[X^2] = 1 + tfrac113 = tfrac143
1º integral: Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = tfrac143 - 2^2 = tfrac143 - 4 = tfrac23 , vira .
2º integral: , vira .
Logo
Então

Resposta

Média: .
Variância:

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