Considere a seguinte f.d.p.:
b) calcule a média e a variância de
Passo 1
Tranquilo, vamos entender o que o enunciado pede. A gente tem uma f.d.p. (função densidade de probabilidade) de uma variável contínua
definida em dois pedaços:
O item (b) quer a média
e a variância
.
Para isso a gente precisa de:
Para isso a gente precisa de:
- Achar o valor de
usando . - Saber que
e
.
Passo 2
Primeiro, normalizar a f.d.p. (ou seja, achar
1 ;=;integral0^2 kx,dx ;+;integral2^4 k(4-x),dx ).
Calcule cada integral:
,
.
Logo
Logo
Passo 3
Agora calcula a média
Com
E[X]=tfrac23 + tfrac43 = 2 :
1º integral: , vira
.
2º integral: , vira
.
Somando:
1º integral:
2º integral:
Somando:
Passo 4
Para a variância precisamos de
E[X^2] =integral0^2 x^2,(k x),dx ;+;integral2^4 x^2l(k(4-x)r),dx :
1º integral:
Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = tfrac143 - 2^2 = tfrac143 - 4 = tfrac23 , vira
.
2º integral: , vira
.
Logo
2º integral:
Logo
Então
Resposta
Média:
.
Variância:
Variância: