Considere a v.a. bidimensional com a seguinte distribuição de probabilidade:
Y backslash X 0 1
0 1 / 8 1 / 8
1 2 / 8 1 / 8
2 2 / 8 1 / 8
Determine:
VAR(X+Y)

Passo 1

Beleza, o exercício dá uma v.a. bidimensional com uma tabela de probabilidades e pede . Estamos em probabilidade de variáveis discretas: para resolver a gente vai precisar lembrar como calcular esperança (valor esperado) e variância de uma variável (usando somatórios sobre toda a distribuição conjunta).

Passo 2

A teoria básica é: se Var(Z) ;=; El[Z^2r];-;l(E[Z]r)^2 é uma v.a.,
Aqui definimos , então precisamos de

  1. e daí .

Passo 3

Calculando E[X+Y] ;=;sumx,y(x+y),P(X=x,Y=y) . Por definição,
E[X+Y] = 0 + tfrac18 + tfrac28 + tfrac48 + tfrac48 + tfrac38 = tfrac128 = tfrac32
Usando a tabela (valores e probabilidades):
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Somando tudo:

Passo 4

Agora E[(X+Y)^2] = sumx,y(x+y)^2,P(X=x,Y=y) .
E[(X+Y)^2] = 0+tfrac18+tfrac28+tfrac48+1+tfrac98 = tfrac248 = 3
De novo pelos pares:
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
  • :
Somando:

Passo 5

Finalmente,
Var(X+Y) = E[(X+Y)^2] ;-;l(E[X+Y]r)^2 = 3 - l(tfrac32r)^2 = 3 - tfrac94 = tfrac34

Resposta

.

Exercícios relacionados